Question

6．设函数f（x）是定义在（-∞，0）上的可导函数，其导函数为f′（x），且有3f（x）+xf′（x）＞0，则不等式（x+2017）³f（x+2017）+27f（-3）＞0的解集是（　　）

• A． （-2020，-2017）
• B． （-∞，-2017）
• C． （-2018，-2017）
• D． （-∞，-2020）

Answer 1

分析 根据条件，构造函数，利用函数的单调性和导数之间的关系，将不等式进行转化即可得到结论．

解答 解：由3f（x）+xf′（x）＞0，（x＜0），
得：3x²f（x）+x³f′（x）＞0，
即[x³f（x）]′＞0，
令F（x）=x³f（x），
则当x＜0时，
得F′（x）＞0，即F（x）在（-∞，0）上是增函数，
∴F（x+2017）=（x+2017）³f（x+2017），F（-3）=-27f（-3），
即不等式等价为F（x+2017）＞F（-3），
∵F（x）在（-∞，0）是增函数，
∴由F（x+2017）＞F（-3）得，x+2017＞-3，
即x＞-2020，而x+2017＜0，故x＜-2017，
故选：A．

点评 本题主要考查不等式的解法，利用条件构造函数，利用函数单调性和导数之间的关系是解决本题的关键．