Question

14．已知${（{x+1}）^2}{（{x+2}）^{2016}}={a_0}+{a_1}（{x+2}）+{a_2}{（{x+2}）^2}+…+{a_{2018}}{（{x+2}）^{2018}}$，则$\frac{a_1}{2}+\frac{a_2}{2^2}+\frac{a_3}{2^3}+…+\frac{{{a_{2018}}}}{{{2^{2018}}}}$的值是（$\frac{1}{2}$）²⁰¹⁸．

Answer 1

分析 利用二项式定理，对等式中的x赋值-2，可求得a₀=0，再令x=$\frac{3}{2}$，即可求出答案．

解答 解：∵（x+1）²（x+2）²⁰¹⁶=a₀+a₁（x+2）+a₂（x+2）+…+a₂₀₁₈（x+2）²⁰¹⁸，
∴令x=-2，得a₀=0
再令x=-$\frac{3}{2}$，得到a₀+$\frac{a_1}{2}+\frac{a_2}{2^2}+\frac{a_3}{2^3}+…+\frac{{{a_{2018}}}}{{{2^{2018}}}}$=（-$\frac{3}{2}$+1）²（-$\frac{3}{2}$+2）²⁰¹⁶=（$\frac{1}{2}$）²⁰¹⁸，
∴$\frac{a_1}{2}+\frac{a_2}{2^2}+\frac{a_3}{2^3}+…+\frac{{{a_{2018}}}}{{{2^{2018}}}}$=${（{\frac{1}{2}}）^{2018}}$，
故答案为：（$\frac{1}{2}$）²⁰¹⁸，

点评 本题考查了二项式定理的应用，属于中档题．