Question

1．若$0＜{θ_1}＜{θ_2}＜\frac{π}{2}$，则必有（　　）

• A． ${e^{cos{θ_1}}}-{e^{cos{θ_2}}}＞lncos{θ_1}-lncos{θ_2}$
• B． ${e^{cos{θ_1}}}-{e^{cos{θ_2}}}＜lncos{θ_1}-lncos{θ_2}$
• C． $cos{θ_2}{e^{cos{θ_1}}}＞cos{θ_1}{e^{cos{θ_2}}}$
• D． $cos{θ_2}{e^{cos{θ_1}}}＜cos{θ_1}{e^{cos{θ_2}}}$

Answer 1

分析 设cosθ=x，则0＜x＜1，构造函数f（x）=$\frac{{e}^{x}}{x}$，由求导公式和法则求出f′（x），根据条件判断出f′（x）的符号，得到函数f（x）的单调性，再利用余弦函数的性质得到f（cosθ₁）＜f（cosθ₂），即可求出答案．

解答 解：设cosθ=x，则0＜x＜1
构造函数f（x）=$\frac{{e}^{x}}{x}$，
则f′（x）=$\frac{{e}^{x}（1-x）}{{x}^{2}}$＞0，
∴函数f（x）在（0，1）上单调递减，
∵y=cosθ在（0，$\frac{π}{2}$）单调递减，
∴1＞cosθ₁＞cosθ₂＞0
∴f（cosθ₁）＜f（cosθ₂），
∴$\frac{{e}^{cos{θ}_{1}}}{cos{θ}_{1}}$＜$\frac{{e}^{cos{θ}_{2}}}{cos{θ}_{2}}$，
∴$cos{θ_2}{e^{cos{θ_1}}}＜cos{θ_1}{e^{cos{θ_2}}}$，
故选：D

点评 本题主要考查导数与函数的单调性关系，以及利用条件构造函数，利用函数的单调性解不等式是解决本题的关键，考查学生的解题构造能力和转化思想．