Question

7．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，φ∈（0，$\frac{π}{2}$））的图象在y轴上的截距为1，在相邻两个最值点$（{x_0}-\frac{3}{2}，2）$和（x₀，-2）上（x₀＞0），函数f（x）分别取最大值和最小值．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若f（x）=$\frac{k+1}{2}$在区间$[0，\frac{3}{2}]$内有两个不同的零点，求k的取值范围；
（3）求函数f（x）在区间$[\frac{13}{4}，\frac{23}{4}]$上的对称轴方程．

Answer 1

分析 （1）由题意得f（0）=1，f（x）的最大值等于2，周期的一半等于$\frac{3}{2}$，列出方程组解出A，ω，φ，
（2）$x∈[0，\frac{3}{2}]⇒\frac{2π}{3}x+\frac{π}{6}∈[\frac{π}{6}，\frac{7π}{6}]⇒1≤\frac{k+1}{2}＜2$，即可求k的取值范围；
（3）$\frac{2π}{3}x+\frac{π}{6}=\frac{π}{2}+kπ，k∈Z⇒x=\frac{1}{2}+\frac{3}{2}k，k∈Z$，即可求函数f（x）在区间$[\frac{13}{4}，\frac{23}{4}]$上的对称轴方程．

解答 解：（1）$A=2，\frac{T}{2}={x_0}-（{x_0}-\frac{3}{2}）=\frac{3}{2}⇒T=3⇒ω=\frac{2π}{3}$，
∴f（x）=2sin（$\frac{2π}{3}$x+φ），
代入（0，1）点，2sinφ=1，
∵φ∈（0，$\frac{π}{2}$），∴φ=$\frac{π}{6}$，∴f（x）=2sin（$\frac{2π}{3}$x+$\frac{π}{6}$）；
（2）$x∈[0，\frac{3}{2}]⇒\frac{2π}{3}x+\frac{π}{6}∈[\frac{π}{6}，\frac{7π}{6}]⇒1≤\frac{k+1}{2}＜2$⇒1≤k＜3
（3）$\frac{2π}{3}x+\frac{π}{6}=\frac{π}{2}+kπ，k∈Z⇒x=\frac{1}{2}+\frac{3}{2}k，k∈Z$
⇒函数f（x）在区间$[\frac{13}{4}，\frac{23}{4}]$上的对称轴方程为$x=\frac{7}{2}$，x=5．

点评 本题考查三角函数解析式的确定，考查三角函数的图象与性质，属于中档题．