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    14．平面直角坐标系xoy中，直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=2-\frac{1}{2}t\\ y=1+\frac{{\sqrt{3}}}{2}t\end{array}\right.（t为参数）$，以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程是ρ2（4cos2θ+sin2θ）=16．
    （1）写出直线l的普通方程与曲线C的参数方程；
    （2）设M（x，y）为曲线C上任意一点，求$\sqrt{3}x+\frac{1}{2}y$的取值范围．

    分析 （1）直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=2-\frac{1}{2}t\\ y=1+\frac{{\sqrt{3}}}{2}t\end{array}\right.（t为参数）$，消去参数t可得：l的普通方程．由ρ2（4cos2θ+sin2θ）=16得4ρ2cos2θ+ρ2sin2θ=16，利用互化公式，所以曲线C的参数方程为：$\left\{\begin{array}{l}x=2cosθ\\ y=4sinθ\end{array}\right.（θ为参数）$．
    （2）M在曲线..上，所以设M（2cosθ，4sinθ），代入可得$\sqrt{3}$x+$\frac{1}{2}$y=4sin$（θ+\frac{π}{3}）$，即可得出．

    解答 解：（1）直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=2-\frac{1}{2}t\\ y=1+\frac{{\sqrt{3}}}{2}t\end{array}\right.（t为参数）$，消去参数t可得：l的普通方程为：$\sqrt{3}x+y-1-2\sqrt{3}=0$，
    由ρ2（4cos2θ+sin2θ）=16得4ρ2cos2θ+ρ2sin2θ=16得4x2+y2=16，即$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{16}=1$．
    所以曲线C的参数方程为：$\left\{\begin{array}{l}x=2cosθ\\ y=4sinθ\end{array}\right.（θ为参数）$；
    （2）M在曲线C上，所以设M（2cosθ，4sinθ），
    则$\sqrt{3}$x+$\frac{1}{2}$y=$\sqrt{3}×2cosθ$+$\frac{1}{2}×4sinθ$=2$\sqrt{3}$cosθ+2sinθ=4sin$（θ+\frac{π}{3}）$，
    因为0≤θ＜2π，$-1≤sin（θ+\frac{π}{3}）$≤1，
    ∴-4≤$\sqrt{3}$x+$\frac{1}{2}$y≤4．

    点评 本题考查了参数方程回去普通方程、极坐标方程化为直角坐标方程、三角函数求值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

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