Question

5．（1）解不等式|2x+1|+|x-2|≥5
（2）已知x∈R，a=x²-1，b=2x+2．求证a，b中至少有一个是非负数．

Answer 1

分析 （1）利用绝对值的意义进行分类讨论，即可求解．
（2）假设 a＜0，b＜0，则a+b＜0，又a+b=x²-1+2x+2=x²+2x+1=（x+1）²≥0，这与假设所得结论矛盾，故假设不成立．

解答 （1）解：当x≤-$\frac{1}{2}$时，原式可化为-2x-1-（x-2）≥5，解得x≤-$\frac{4}{3}$；
当-$\frac{1}{2}$＜x＜2时，原式可化为2x+1-x+2≥5，此不等式无解；
当x≥2时，原式可化为2x+1+x-2≥5，解得x≥2．
综上所述，不等式的解集为{x|x≤-$\frac{4}{3}$或x≥2}；
（2）证明：假设a，b中没有一个是非负数，即a＜0，b＜0，所以 a+b＜0．
又a+b=x²-1+2x+2=x²+2x+1=（x+1）²≥0，这与假设所得结论矛盾，故假设不成立，
所以，a，b中至少有一个是非负数．

点评 本题考查绝对值不等式的解法，考查用反证法证明数学命题，推出矛盾是解题的关键．