Question

20．已知数列{a_n}满足a₁=1，S_n=2n-a_n（n∈N^*）．
（1）计算a₂，a₃，a₄，并由此猜想通项公式a_n；
（2）用数学归纳法证明（1）中的猜想．

Answer 1

分析 （1）根据S_n=2n-a_n，利用递推公式，求出a₂，a₃，a₄．
（2）总结出规律求出a_n，然后利用归纳法进行证明，检验n=1时等式成立，假设n=k时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立．

解答 解：（1）当n=1时，a₁=S₁=1．
当n=2时，a₁+a₂=S₂=2×2-a₂，∴a₂=$\frac{3}{2}$．
当n=3时，a₁+a₂+a₃=S₃=2×3-a₃，∴a₃=$\frac{7}{4}$．
当n=4时，a₁+a₂+a₃+a₄=S₄=2×4-a₄，∴a₄=$\frac{15}{8}$，
由此猜想a_n=$\frac{{2}^{n}-1}{{2}^{n-1}}$（n∈N^*）．                          
（2）证明：①当n=1时，a₁=S₁=1，结论成立．
②假设n=k（k≥1且k∈N^*）时，结论成立，即a_k=$\frac{{2}^{k}-1}{{2}^{k-1}}$
那么n=k+1（k≥1且k∈N^*）时，a_k+1=S_k+1-S_k=2（k+1）-a_k+1-2k+a_k=2+a_k-a_k+1．
∴2a_k+1=2+a_k=2+$\frac{{2}^{k}-1}{{2}^{k-1}}$=$\frac{{2}^{k+1}-1}{{2}^{k-1}}$．
∴a_k+1=$\frac{{2}^{k-1}-1}{{2}^{k}}$，
由①②可知，对n∈N^*，a_n=$\frac{{2}^{n}-1}{{2}^{n-1}}$都成立

点评 此题主要考查归纳法的证明，归纳法一般三个步骤：（1）验证n=1成立；（2）假设n=k成立；（3）利用已知条件证明n=k+1也成立，从而求证，这是数列的通项一种常用求解的方法．