Question

17．在△ABC中，已知|BC|=4，且$\frac{{|{AB}|}}{{|{AC}|}}=λ$，求点A的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形．

Answer 1

分析 以直线BC为x轴、线段BC的中点为原点，建立平面直角坐标系．设点A的坐标为（x，y）．由$\frac{{|{AB}|}}{{|{AC}|}}=λ$得，$\sqrt{{{（{x+2}）}^2}+{y^2}}=λ\sqrt{{{（{x-2}）}^2}+{y^2}}$，化简可得结论．

解答 解：如图，以直线BC为x轴，线段BC的中点为原点，建立直角坐标系，
则有B（-2，0），C（2，0），设点A的坐标为（x，y）．
由$\frac{{|{AB}|}}{{|{AC}|}}=λ$得，$\sqrt{{{（{x+2}）}^2}+{y^2}}=λ\sqrt{{{（{x-2}）}^2}+{y^2}}$，
整理得（λ²-1）x²+（λ²-1）y²-4（λ²+1）x+4（λ²-1）=0，
当λ²=1时，λ=1，方程是x=0，轨迹是y轴（除去原点）；
当λ²≠1时，配方得${（{x-\frac{{2（{{λ^2}+1}）}}{{{λ^2}-1}}}）^2}+{y^2}=\frac{{16{λ^2}}}{{{{（{{λ^2}-1}）}^2}}}$，
所以点A的轨迹是以$（{\frac{{2（{{λ^2}+1}）}}{{{λ^2}-1}}，0}）$为圆心，$\frac{4λ}{{|{{λ^2}-1}|}}$为半径的圆（除去圆与BC的交点）．

点评 本题考查轨迹方程，考查学生的计算能力，正确建立平面直角坐标系是关键．