Question

12．已知函数f（x）=$\frac{2ax-{a}^{2}+1}{{x}^{2}+1}$，其中a∈R．
（1）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；
（2）当a≠0时，求函数f（x）的单调区间与极值．

Answer 1

分析 （1）把a=1代入，先对函数求导，然后求f（2），根据导数的几何意义可知，该点切线的斜率k=f′（2），从而求出切线方程．
（2）先对函数求导，分别解f′（x）＞0，f′（x）＜0，解得函数的单调区间，根据函数的单调性求函数的极值．

解答 解：（1）当a=1时，f（x）=$\frac{2x}{{x}^{2}+1}$，f（2）=$\frac{4}{5}$，
又f′（x）=$\frac{2（1+x）（1-x）}{{{（x}^{2}+1）}^{2}}$，f′（2）=-$\frac{6}{25}$，
所以，曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为y-$\frac{4}{5}$=-$\frac{6}{25}$（x-2），
即6x+25y-32=0．
（2）f′（x）=$\frac{-2（x-a）（ax+1）}{{{（x}^{2}+1）}^{2}}$，
由于a≠0，以下分两种情况讨论．
①当a＞0时，令f'（x）=0，得到x₁=-$\frac{1}{a}$，x₂=a，
当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下表：

x	（-∞，-$\frac{1}{a}$）	-$\frac{1}{a}$	（-$\frac{1}{a}$，a）	a	（a，+∞）
f′（x）	-	0	+	0	-
f（x）	↘	极小值	↗	极大值	↘

所以f（x）在区间（-∞，-$\frac{1}{a}$），（a，+∞）内为减函数，在区间（-$\frac{1}{a}$，a）内为增函数．
函数f（x）在x₁=-$\frac{1}{a}$处取得极小值f（-$\frac{1}{a}$），且f（-$\frac{1}{a}$）=-a²．
函数f（x）在x₂=a处取得极大值f（a），且f（a）=1．
②当a＜0时，令f'（x）=0，得到x₁=a，x₂=-$\frac{1}{a}$，
当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下表：

x	（-∞，a）	a	（a，-$\frac{1}{a}$）	-$\frac{1}{a}$	（-$\frac{1}{a}$，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	增	极大值	减	极小值	增

所以f（x）在区间（-∞，a），（-$\frac{1}{a}$，+∞）内为增函数，在区间（a，-$\frac{1}{a}$）内为减函数．
函数f（x）在x₁=a处取得极大值f（a），且f（a）=1．
函数f（x）在x₂=-$\frac{1}{a}$处取得极小值f（-$\frac{1}{a}$），且f（-$\frac{1}{a}$）=-a²．

点评 本小题考查导数的几何意义，两个函数的和、差、积、商的导数，利用导数研究函数的单调性和极值等基础知识，考查运算能力及分类讨论的思想方法．