Question

7．（1）当n≥0时，试用分析法证明：$\sqrt{n+2}-\sqrt{n+1}＜\sqrt{n+1}-\sqrt{n}$；
（2）已知x∈R，a=x²-1，b=2x+2．求证：a、b中至少有一个不小于0．

Answer 1

分析 （1）要证$\sqrt{n+2}-\sqrt{n+1}＜\sqrt{n+1}-\sqrt{n}$成立，即证$\sqrt{n+2}+\sqrt{n}＜2\sqrt{n+1}$成立，即证其下一个充分条件成立，最后只要证 n²+2n＜n²+2n+1成立即可，而该式成立，于是命题得证；
（2）利用反证法，假设 a＜0且b＜0，依题意，可证得x＜-1，这与-1＜x＜1矛盾，从而否定假设，肯定原结论成立．

解答 （1）证明：要证$\sqrt{n+2}-\sqrt{n+1}＜\sqrt{n+1}-\sqrt{n}$，
即证$\sqrt{n+2}+\sqrt{n}＜2\sqrt{n+1}$，
只要证${（\sqrt{n+2}+\sqrt{n}）^2}＜{（2\sqrt{n+1}）^2}$，
即证 $2n+2+2\sqrt{n（{n+2}）}＜4n+4$，
即证$\sqrt{n（{n+2}）}＜n+1$，
只要证 n²+2n＜n²+2n+1，
而上式显然成立，
所以 $\sqrt{n+2}-\sqrt{n+1}＜\sqrt{n+1}-\sqrt{n}$成立．
（2）证明：假设 a＜0且b＜0，
由a=x²-1＜0得-1＜x＜1，
由b=2x+2＜0得x＜-1，
这与-1＜x＜1矛盾，
所以假设错误，
所以a、b中至少有一个不小于0．

点评 本题考查不等式的证明，突出考查分析法与反证法的应用，考查推理与证明能力，属于中档题．