Question

19．已知直线l：（k-1）x-2y+5-3k=0（k∈R）恒过定点P，圆C经过点A（4，0）和点P，且圆心在直线x-2y+1=0上．
（1）求定点P的坐标；
（2）求圆C的方程；
（3）已知点P为圆C直径的一个端点，若另一个端点为点Q，问：在y轴上是否存在一点M（0，m），使得△PMQ为直角三角形，若存在，求出m的值，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）左右直线l的方程：k（x-3）-（x+2y-5）=0，令$\left\{\begin{array}{l}x-3=0\\ x+2y-5=0\end{array}\right.$，即可求得定点P的坐标；
（2）设圆的方程，由题意列方程组，即可求圆的标准方程；
（3）由（2）可知：求得直线CP的斜率，根据对称性求得Q点坐标，由M在圆外，所以点M不能作为直角三角形的顶点，分类讨论，即可求得m的值．

解答 解：（1）由（k-1）x-2y+5-3k=0得，k（x-3）-（x+2y-5）=0，
令$\left\{\begin{array}{l}x-3=0\\ x+2y-5=0\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}x=3\\ y=1\end{array}\right.$，即定点P的坐标为（3，1）．
（2）设圆C的方程为x²+y²+Dx+Ey+F=0，
由条件得$\left\{\begin{array}{l}16+4D+F=0\\ 9+1+3D+E+F=0\\（{-\frac{D}{2}}）-2（{-\frac{E}{2}}）+1=0\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}D=-14\\ E=-8\\ F=40\end{array}\right.$．
所以圆C的方程为x²+y²-14x-8y+40=0，
圆C的标准方程（x-7）²+（y-4）²=25．
（3）圆C的标准方程为（x-7）²+（y-4）²=25，则${k_{CP}}=\frac{4-1}{7-3}=\frac{3}{4}$，
设点P（3，1）关于圆心（7，4）的对称点为（x₀，y₀），则有$\left\{\begin{array}{l}3+{x_0}=14\\ 1+{y_0}=8\end{array}\right.$，
解得x₀=11，y₀=7，故点Q的坐标为（11，7）．
因为M在圆外，所以点M不能作为直角三角形的顶点，
若点P为直角三角形的顶点，则有$\frac{m-1}{0-3}•\frac{3}{4}=-1$，m=5，
若点Q是直角三角形的顶点，则有$\frac{m-7}{0-11}•\frac{3}{4}=-1$，$m=\frac{65}{3}$，
综上，m=5或$\frac{65}{3}$．

点评 本题考查圆的标准方程的求法，直线与椭圆的位置关系，考查分类讨论思想，属于中档题．