Question

20．设$f（x）=sinxcosx-{cos^2}（{x+\frac{π}{4}}），x∈R$．
（I）求f（x）的单调递增区间；
（II）在锐角△ABC中，A、B、C的对边分别为a，b，c，若$f（{\frac{A}{2}}）=0，a=1$，求△ABC面积的最大值．

Answer 1

分析 （I）利用二倍角和两角和与差以及辅助角公式基本公式将函数化为y=Asin（ωx+φ）的形式，将内层函数看作整体，放到正弦函数的增区间上，解不等式得函数的单调递增区间；
（II）根据$f（{\frac{A}{2}}）=0，a=1$，求出sinA，可得cosA，利用余弦定理，利用基本不等式的性质求出bc的值，可得△ABC面积的最大值．

解答 解：（I）$f（x）=sinxcosx-{cos^2}（{x+\frac{π}{4}}），x∈R$．
化简可得：f（x）=$\frac{1}{2}$sin2x-$\frac{1}{2}$$-\frac{1}{2}$cos（2x+$\frac{π}{2}$）
=$\frac{1}{2}$sin2x+$\frac{1}{2}$sin2x-$\frac{1}{2}$
=sin2x-$\frac{1}{2}$，
由$-\frac{π}{2}+2kπ≤2x≤\frac{π}{2}+2kπ$，k∈Z．
可得：$-\frac{π}{4}+kπ$≤x≤$\frac{π}{4}+kπ$（k∈Z），
∴函数f（x）的单调递增区间是：[$-\frac{π}{4}+kπ$，$\frac{π}{4}+kπ$]，k∈Z
（II）由f（$\frac{A}{2}$）=0，即sinA-$\frac{1}{2}$=0，
可得sinA=$\frac{1}{2}$，
$0＜A＜\frac{π}{2}$，
∴cosA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
由余弦定理：a²=b²+c²-2bccosA，
可得1+$\sqrt{3}$bc=b²+c²．
∵b²+c²≥2bc，当且仅当b=c时等号成立．
∴1+$\sqrt{3}$bc≥2bc，
bc≤2$+\sqrt{3}$．
∴△ABC面积的最大值S=$\frac{1}{2}$bcSin≤$\frac{2+\sqrt{3}}{4}$．
故得三角形ABC面积最大值为$\frac{2+\sqrt{3}}{4}$．

点评 本题主要考查对三角函数的化简能力和三角函数的图象和性质的运用，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键．同时考查了余弦定理和不等式的性质的运用，属于中档题．