Question

10．已知函数f（x）的导函数f′（x）=3+cosx，x∈（-1，1），且f（0）=0，如果f（1-x）+f（1-x²）＜0，则实数x的取值范围为（1，$\sqrt{2}$）．

Answer 1

分析 由导函数可求原函数f（x），判断函数f（x）单调性和奇偶性，利用奇偶性将不等式f（1-x）+f（1-x²）＜0 等价于f（1-x）＜f（x²-1）．利用单调性去掉函数符号f 即可解得所求，注意自变量本身范围．

解答 解：∵f'（x）=3+cosx，知f（x）=3x+sinx+c，而f（0）=0，
∴c=0．
即f（x）=3x+sinx，易知此函数是奇函数，且在整个区间单调递增，
因为f'（x）=3+cosx在x∈（-1，1）恒大于0，
根据奇函数的性质可得出，在其对应区间上亦是单调递增的．
由 f（1-x）+f（1-x²）＜0 可得 f（1-x）＜-f（1-x²），即：f（1-x）＜f（x²-1）．
∴$\left\{\begin{array}{l}{-1＜1-x＜1}\\{-1＜{x}^{2}-1＜1}\\{1-x＜{x}^{2}-1}\end{array}\right.$，解得解得：x∈（1，$\sqrt{2}$），
故答案为：（1，$\sqrt{2}$）

点评 本题主要考查了函数的单调性与导数的关系，以及函数的单调性和奇偶性，同时考查了计算能力，属于中档题．