Question

5．已知函数f（x）=xlnx-$\frac{1}{2}$ax²有两个极值点，则实数a的取值范围为（　　）

• A． （-∞，0）
• B． （0，+∞）
• C． （0，$\frac{1}{2}$）
• D． （0，1）

Answer 1

分析 方法一：求导，由题意可知g（x）=0在区间（0，+∞）上有两个实数根．则根据函数的单调性求得g（x）的极大值，则g（$\frac{1}{a}$）=ln$\frac{1}{a}$＞0，即可求得实数a的取值范围．
方法二：先求导函数，函数f（x）=xlnx-$\frac{1}{2}$ax²有两个极值点，等价于f′（x）=lnx-ax+1有两个零点，等价于函数y=lnx与y=ax-1的图象由两个交点，在同一个坐标系中作出它们的图象．由图可求得实数a的取值范围．

解答 解：方法一：f（x）=xlnx-$\frac{1}{2}$ax²（x＞0），f′（x）=lnx+1-ax．
令g（x）=lnx+1-ax，
∵函数ff（x）=xlnx-$\frac{1}{2}$ax²有两个极值点，则g（x）=0在区间（0，+∞）上有两个实数根．
g′（x）=$\frac{1}{x}$-a=$\frac{1-ax}{x}$，
当a≤0时，g′（x）＞0，则函数g（x）在区间（0，+∞）单调递增，因此g（x）=0在区间（0，+∞）上不可能有两个实数根，应舍去．
当a＞0时，令g′（x）=0，解得x=$\frac{1}{a}$，
令g′（x）＞0，解得0＜x＜$\frac{1}{a}$，此时函数g（x）单调递增；
令g′（x）＜0，解得x＞$\frac{1}{a}$，此时函数g（x）单调递减．
∴当x=$\frac{1}{a}$时，函数g（x）取得极大值．
当x趋近于0与x趋近于+∞时，g（x）→-∞，
要使g（x）=0在区间（0，+∞）上有两个实数根，
则g（$\frac{1}{a}$）=ln$\frac{1}{a}$＞0，解得0＜a＜1．
∴实数a的取值范围是（0，1）．
故选：D．
方法二：解：由题意，f′（x）=lnx+1-ax，
令f′（x）=lnx-ax+1=0得lnx=ax-1，
函数f（x）=xlnx-$\frac{1}{2}$ax²有两个极值点，等价于f′（x）=lnx-ax+1有两个零点，
等价于函数y=lnx与y=ax-1的图象有两个交点，
在同一个坐标系中作出它们的图象（如图）
当a=时，直线y=ax-1与y=lnx的图象相切，
由图可知，当0＜a＜1时，y=lnx与y=ax-1的图象有两个交点．
则实数a的取值范围是（0，1）．
故选：D．

点评 本题考查导数的综合应用，考查利用导数求函数的单调性及极值，考查数形结合思想，属于中档题．