Question

14．已知椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，A（a，0），B（0，b），O（0，0），△OAB的面积为4，
（1）求椭圆的标准方程
（2）设直线l：y=kx+1与椭圆C相交于P，Q两点，是否存在这样的实数k，使得以PQ为直径的圆过原点，若存在，请求出k的值：若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）利用已知条件列出列出求解椭圆的几何量求解椭圆的标准方程．
（2）假设存在这样的实数k，使其满足题意，设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），联立方程组$\left\{\begin{array}{l}\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{4}=1\\ y=kx+1\end{array}\right.$，利用韦达定理，以及$\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{OQ}=0$，转化求解即可．

解答 解：（1）由题意得：$\left\{\begin{array}{l}{S_{△OAB}}=\frac{1}{2}ab=4\\ e=\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}\\{a^2}={b^2}+{c^2}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}a=4\\ b=2\\ c=2\sqrt{3}\end{array}\right.$
所以椭圆的标准方程为$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{4}=1$------------------------------------------------------------（5分）
（2）假设存在这样的实数k，使其满足题意，设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）
联立方程组$\left\{\begin{array}{l}\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{4}=1\\ y=kx+1\end{array}\right.$，----------------------------------------------------------------------（6分）
消去y得：（1+4k²）x²+8kx-12=0，
由题意得：x₁、x₂是此方程的解
所以${x_1}+{x_2}=-\frac{8k}{{1+4{k^2}}}，{x_1}{x_2}=-\frac{12}{{1+4{k^2}}}$∴${y_1}{y_2}=（k{x_1}+1）（k{x_2}+1）=\frac{{1-16{k^2}}}{{1+4{k^2}}}$--------------------------------------------------------（9分）
因为PQ为直径的圆过原点，
所以$\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{OQ}=0$，即${x_1}{x_2}+{y_1}{y_2}=-\frac{12}{{1+4{k^2}}}+\frac{{1-16{k^2}}}{{1+4{k^2}}}=0$
解得${k^2}=-\frac{11}{16}$，所以假设不成立，
所以，不存在这样的实数k，使得以PQ为直径的圆过原点．-------------------------（12分）

点评 本题考查椭圆的方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查计算能力．