Question

19．给出下列命题：
①点P（-1，4）到直线3x+4y=2的距离为3．
②过点M（-3，5）且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为x-y+8=0．
③命题“?x∈R，使得x²-2x+1＜0”的否定是真命题；
④“x≤1，且y≤1”是“x+y≤2”的充要条件．
其中不正确命题的序号是①②④．（把你认为不正确命题的序号都填上）

Answer 1

分析 由点到直线的距离公式，计算即可判断①；讨论截距为0和不为0，设出直线方程，代入M的方程，即可判断②；求出原命题的否定，判断真假，即可判断③；运用充分必要条件的定义，即可判断④．

解答 解：对于①，点P（-1，4）到直线3x+4y=2的距离为d=$\frac{|-3+4×4-2|}{\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}}$=$\frac{11}{5}$．故不正确；
对于②，过点M（-3，5）且在两坐标轴上的截距互为相反数，
当截距为0，所求直线斜率为-$\frac{5}{3}$，方程为y=-$\frac{5}{3}$x，即为5x+3y=0；
当截距不为0，设所求直线方程为x-y=a，代入M的坐标，可得a=-3-5=-8，
即有直线方程为x-y+8=0．综上可得所求直线方程为5x+3y=0或x-y+8=0．故不正确；
对于③，命题“?x∈R，使得x²-2x+1＜0”的否定是“?x∈R，使得x²-2x+1≥0”是真命题．故正确；
对于④，“x≤1，且y≤1”可得“x+y≤2”，反之，不成立，比如x=4，y=-3，
故“x≤1，且y≤1”是“x+y≤2”的充分不必要条件，故不正确．
其中不正确的命题为①②④．
故答案为：①②④．

点评 本题考查命题的真假判断和应用，考查直线方程的求法和点到直线的距离公式、命题的否定和充分必要条件的判断，考查判断能力和运算能力，属于基础题．