Question

9．已知函数f（x）=xe^x+c，若方程f（x）=0有两个不相等的实数根，则c的取值范围是（0，$\frac{1}{e}$） ．

Answer 1

分析 判断f（x）的单调性，计算f（x）的极值和极限，根据零点个数列不等式组解出．

解答 解：f′（x）=e^x+xe^x=e^x（1+x），
∴当x＜-1时，f′（x）＜0，当x＞-1时，f′（x）＞0，
∴f（x）在（-∞，-1）上单调递减，在（-1，+∞）上单调递增，
∴当x=-1时，f（x）取得最小值f（-1）=-$\frac{1}{e}$+c，
∵方程f（x）=0有两个不相等的实数根，
∴f（-1）＜0，即-$\frac{1}{e}$+c＜0，
∴c＜$\frac{1}{e}$．
又x→-∞时，f（x）→c，x→+∞时，f（x）→+∞，
∴c＞0，
∴0＜e＜$\frac{1}{e}$．
故答案为（0，$\frac{1}{e}$）．

点评 本题考查了零点个数与函数极值，单调性的关系，属于中档题．