Question

4．已知向量$\overrightarrow a=（{1，0}），\overrightarrow b=（{-2，1}）$．
（1）若$k\overrightarrow a-\overrightarrow b$与$\overrightarrow a+3\overrightarrow b$垂直，求k的值；
（2）若$k\overrightarrow a-\overrightarrow b$与$\overrightarrow a+3\overrightarrow b$平行，求k的值．

Answer 1

分析 （1）利用平面向理坐标运算法则先分别求出$k\overrightarrow a-\overrightarrow b$和$\overrightarrow a+3\overrightarrow b$，再利用$k\overrightarrow a-\overrightarrow b$与$\overrightarrow a+3\overrightarrow b$垂直，能求出k的值．
（2）利用$k\overrightarrow a-\overrightarrow b$与$\overrightarrow a+3\overrightarrow b$平行，结合向量平行的性质，能求出k的值．

解答 解：（1）∵向量$\overrightarrow a=（{1，0}），\overrightarrow b=（{-2，1}）$．
∴$k\overrightarrow a-\overrightarrow b$=（k，0）-（-2，1）=（k+2，-1），
$\overrightarrow a+3\overrightarrow b$=（1，0）+（-6，3）=（-5，3），
∵$k\overrightarrow a-\overrightarrow b$与$\overrightarrow a+3\overrightarrow b$垂直，
∴（$k\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$）•（$\overrightarrow{a}+3\overrightarrow{b}$）=-5（k+2）-3=0，
解得$k=-\frac{13}{5}$．
（2）∵$k\overrightarrow a-\overrightarrow b$与$\overrightarrow a+3\overrightarrow b$平行，
∴$\frac{k+2}{-5}=\frac{-1}{3}$，解得$k=-\frac{1}{3}$．

点评 本题考查平面向量运算法则、向量平行与向量垂直的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．