Question

12．如图所示，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=AA₁=2，∠ABC=90°，点E、F分别是棱AB、BB₁的中点，当二面角C₁-AA₁-B为45^o时，直线EF和BC₁所成的角为（　　）

• A． 45^o
• B． 60^o
• C． 90^o
• D． 120^o

Answer 1

分析 由已知条件可得BA、BC、BB₁ 两两互相垂直，并求得BC=2，以B为原点，分别以BC，BA，BB₁所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，求出$\overrightarrow{B{C}_{1}}$ 与$\overrightarrow{EF}$的坐标，得到两向量所成角，进一步得到直线EF和BC₁所成的角．

解答 解：如图，
∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁中是直三棱柱，∴AA₁⊥平面A₁B₁C₁，
则A₁C₁⊥AA₁，A₁B₁⊥AA₁，∴∠B₁A₁C₁为二面角C₁-AA₁-B的平面角等于45^o，
∵∠A₁B₁C₁=∠ABC=45°，且A₁B₁=AB=2，
∴B₁C₁=BC=2．
以B为原点，分别以BC，BA，BB₁所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
则B（0，0，0），E（0，1，0），C₁（2，0，2），F（0，0，1）．
∴$\overrightarrow{B{C}_{1}}=（2，0，2）$，$\overrightarrow{EF}=（0，-1，1）$，
∴cos＜$\overrightarrow{B{C}_{1}}，\overrightarrow{EF}$＞=$\frac{\overrightarrow{B{C}_{1}}•\overrightarrow{EF}}{|\overrightarrow{B{C}_{1}}||\overrightarrow{EF}|}=\frac{2}{\sqrt{8}×\sqrt{2}}=\frac{1}{2}$，
∴$\overrightarrow{B{C}_{1}}$ 与$\overrightarrow{EF}$的夹角为60°，即直线EF和BC₁所成的角为60°．
故选：B．

点评 本题考查异面直线所成角，训练了利用空间向量求两条异面直线所成角的方法，是中档题．