Question

15．在三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c．已知b=3，c=2．
（1）若2a•cosC=3，求a的值；
（2）若$\frac{c}{b}=\frac{cosC}{1+cosB}$，求cosC的值．

Answer 1

分析 （1）由余弦定理，$2a•\frac{{{a^2}+{b^2}-{c^2}}}{2ab}=3$，将b=3，c=2代入，解得a的值；
（2）若$\frac{c}{b}=\frac{cosC}{1+cosB}$，由正弦定理，$\frac{sinC}{sinB}=\frac{cosC}{1+cosB}$，化简得sinC=sin（B-C），由正弦定理可得，$\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}=\frac{b}{2sinCcosC}$，即可求cosC的值．

解答 解：（1）由余弦定理，$2a•\frac{{{a^2}+{b^2}-{c^2}}}{2ab}=3$，将b=3，c=2代入，解得：a=2．…（6分）
（2）由正弦定理，$\frac{sinC}{sinB}=\frac{cosC}{1+cosB}$，化简得sinC=sin（B-C），
∴C=B-C或C+B-C=π（舍去），则B=2C，
由正弦定理可得，$\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}=\frac{b}{2sinCcosC}$，
将b=3，c=2代入解得$cosC=\frac{3}{4}$．…（14分）

点评 本题考查正弦、余弦定理的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．