Question

5．在△ABC中，$tanB=\sqrt{3}$，AB=3，${S_{△ABC}}=\frac{{3\sqrt{3}}}{2}$，则AC的长度为$\sqrt{7}$．

Answer 1

分析 由已知可求B，利用三角形面积公式可求BC的值，进而利用余弦定理可求AC的值．

解答 解：∵$tanB=\sqrt{3}$，B∈（0，π），
∴B=$\frac{π}{3}$，
又∵AB=3，${S_{△ABC}}=\frac{{3\sqrt{3}}}{2}$=$\frac{1}{2}$AB•BC•sinB=$\frac{1}{2}×3×BC×\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴BC=2，
∴AC=$\sqrt{A{B}^{2}+B{C}^{2}-2AB•BC•cosB}$=$\sqrt{9+4-2×3×2×\frac{1}{2}}$=$\sqrt{7}$．
故答案为：$\sqrt{7}$．

点评 本题主要考查了特殊角的三角函数值，三角形面积公式，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．