Question

10．已知椭圆$\frac{{x}^{2}}{25}$+$\frac{{y}^{2}}{{m}^{2}}$=1（m＞0）与双曲线$\frac{{x}^{2}}{7}$-$\frac{{y}^{2}}{{n}^{2}}$=1（n＞0）有相同的焦点，则m+n的取值范围是（　　）

• A． （0，6]
• B． [3，6]
• C． （3$\sqrt{2}$，6]
• D． [6，9）

Answer 1

分析 求出椭圆与双曲线的焦点坐标，然后求解即可．

解答 解：双曲线$\frac{{x}^{2}}{7}$-$\frac{{y}^{2}}{{n}^{2}}$=1（n＞0）的焦点坐标（$±\sqrt{7+{n}^{2}}$，0），
椭圆$\frac{{x}^{2}}{25}$+$\frac{{y}^{2}}{{m}^{2}}$=1（m＞0）的焦点坐标（$±\sqrt{25-{m}^{2}}$，0）
两个曲线有相同的焦点，
可得7+n²=25-m²，
可得m²+n²=18，m+n=$\sqrt{{m}^{2}+{n}^{2}+2mn}$≤$\sqrt{2}\sqrt{{m}^{2}+{n}^{2}}$=6．当且仅当m=n=3时取等号．∵m∈（0，3$\sqrt{2}$）
令m=3$\sqrt{2}$cosθ，n=3$\sqrt{2}$sinθ，θ∈（0，$\frac{π}{2}$）．
∴m+n=6sin（$θ+\frac{π}{4}$），$θ+\frac{π}{4}$∈$（\frac{π}{4}，\frac{3π}{4}）$，
（m+n）_min＞3$\sqrt{2}$，
∴m+n∈（3$\sqrt{2}$，6]．
故选：C．

点评 本题考查椭圆与双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．