Question

20．已知双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a＞0，b＞0）$的离心率为$\frac{{\sqrt{6}}}{2}$，椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞b＞0）的离心率为（　　）

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $\frac{{\sqrt{2}}}{2}$
• C． $\frac{{\sqrt{3}}}{2}$
• D． $\frac{{\sqrt{3}}}{3}$

Answer 1

分析 先由题设条件求出双曲线的a，c的关系，从而得到a和 b的关系，再利用椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$的a和b关系求出椭圆的离心率．

解答 解：由题设条件可知双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a＞0，b＞0）$的离心率为$\frac{{\sqrt{6}}}{2}$，
∴不妨设a=2．c=$\sqrt{6}$，∴b=$\sqrt{2}$
∴椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$的a=2．b=$\sqrt{2}$
∴c=$\sqrt{2}$
则椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$的离心率为e=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
故选：B．

点评 本题考查椭圆、双曲线的标准方程及简单性质．本题是双曲线的椭圆的综合题，难度不大，只要熟练掌握圆锥曲线的性质就行．