Question

18．在极坐标系中，曲线C的极坐标方程为ρ²=$\frac{3}{1+2si{n}^{2}θ}$和点R（2$\sqrt{2}$，$\frac{π}{4}$）
（1）若极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x轴的正半轴重合，且长度单位相同，将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；
（2）设点P为曲线C上一动点，矩形PQRS以PR为其对角线，且矩形的一边垂直于极轴，求矩形PQRS周长的最小值及此时点P的直角坐标．

Answer 1

分析 （1）利用极坐标方程与直角坐标方程的转化方法，即可得出结论；
（2）设P（$\sqrt{3}$cosθ，sinθ），则Q（2，sinθ），利用三角函数可得结论．

解答 解：（1）由 ρcosθ=x，ρsinθ=y代入到曲线C的极坐标方程${ρ}^{2}=\frac{3}{1+2si{n}^{2}θ}$中有：ρ²+2ρ²sin²θ=3，即x²+3y²=1为曲线C的普通方程．
（2）设P（$\sqrt{3}$cosθ，sinθ），则Q（2，sinθ），则|PQ|=2-$\sqrt{3}$cosθ，|RQ|=2-sinθ，
所以|PQ|+|RQ|=4-2sin（θ+$\frac{π}{3}$），当$θ=\frac{π}{6}$时，|PQ|+|RQ|的最小值为2，
所以矩形PQRS周长的最小值为4，此时点P的坐标为P（$\frac{3}{2}$，$\frac{1}{2}$）．

点评 本题考查极坐标方程与直角坐标方程的转化，考查参数方程的运用，属于中档题．