Question

8．已知函数$f（x）=\frac{1-x}{{1+{x^2}}}{e^x}$，x₁，x₂为两不同实数，当f（x₁）=f（x₂）时，有（　　）

• A． x₁+x₂＞0
• B． x₁+x₂＜0
• C． x₁+x₂=0
• D． 无法确定

Answer 1

分析 构造函数，利用导数证明函数的单调性，即可得出结论．

解答 解：当x＜1时，由于$\frac{1-x}{1+{x}^{2}}$＜0，e^x＞0，得到f（x）＞0；同理，当x＞1时，f（x）＜0．
当f（x₁）=f（x₂）（x₁≠x₂）时，不妨设x₁＜x₂．
由题意可知：x₁∈（-∞，0），x₂∈（0，1）．
下面证明：?x∈（0，1），f（x）＜f（-x），即证（1-x）e^x-$\frac{1+x}{{e}^{x}}$＜0．
令g（x）=（1-x）ex-$\frac{1+x}{{e}^{x}}$，则g′（x）=-xe^-x（e^2x-1）．
当x∈（0，1）时，g′（x）＜0，g（x）单调递减，∴g（x）＜g（0）=0．
即（1-x）ex-$\frac{1+x}{{e}^{x}}$＜0．
∴?x∈（0，1），f（x）＜f（-x）．
而x₂∈（0，1），∴f（x₂）＜f（-x₂）．
从而，f（x₁）＜f（-x₂）．
由于x₁，-x₂∈（-∞，0），f（x）在（-∞，0）上单调递增，
∴x₁＜-x₂，即x₁+x₂＜0．
故选：B．

点评 本题考查导数知识的运用，考查数形结合的数学思想，正确构造函数是关键．