Question

18．已知$0＜α＜\frac{π}{2}，0＜β＜\frac{π}{2}，cosα=\frac{3}{5}，cos（{β+α}）=\frac{5}{13}$．
（I）求sinβ的值；
（II）求$\frac{sin2α}{{{{cos}^2}α+cos2α}}$的值．

Answer 1

分析 （I）利用和与差的公式，构造思想，可得sinβ的值．
（II）根据二倍角公式和同角函数关系式，即可求解．

解答 解（I）∵$0＜β＜\frac{π}{2}$，$0＜α＜\frac{π}{2}$，
0＜α+β＜π，
cosα=$\frac{3}{5}$，
∴sinα=$\frac{4}{5}$，
sin（α+β）=$\frac{12}{13}$，
那么：sinβ=sin[（α+β）-α]=sin（α+β）cosα-cos（α+β）sinα=$\frac{16}{65}$；
（II）由（I）sinα=$\frac{4}{5}$，cosα=$\frac{3}{5}$，
那么sin2α=2sinαcosα=$\frac{24}{25}$，
cos²α=$\frac{9}{25}$，
cos2α=1-2sin²α=$-\frac{7}{25}$，
∴$\frac{sin2α}{{{{cos}^2}α+cos2α}}$=$\frac{\frac{24}{25}}{\frac{9}{25}-\frac{7}{25}}=12$．

点评 本题考查了和与差的公式，二倍角公式和同角函数关系式的计算．属于基础题．