Question

10．已知函数f（x）=$\frac{1}{2}$x⁴-2x³+3m（x∈R），若f（x）+6≥0恒成立，则实数m的取值范围是（　　）

• A． m≥$\frac{5}{2}$
• B． m＞$\frac{5}{2}$
• C． m≤$\frac{5}{2}$
• D． m＜$\frac{5}{2}$

Answer 1

分析 要找m的取值使f（x）+6≥0恒成立，思路是求出f′（x）并令其等于零找出函数的驻点，得到函数f（x）的最小值，使最小值大于等于-6即可求出m的取值范围．

解答 解析：因为函数f（x）=$\frac{1}{2}$x⁴-2x³+3m，
所以f′（x）=2x³-6x²，
令f′（x）=0，得x=0或x=3，
经检验知x=3是函数的一个最小值点，
所以函数的最小值为f（3）=3m-$\frac{27}{2}$，
因为不等式f（x）+6≥0恒成立，即f（x）≥-6恒成立，
所以3m-$\frac{27}{2}$≥-6，解得m≥$\frac{5}{2}$，
故选：A．

点评 本题考查了利用导数求闭区间上函数的最值、函数恒成立问题等等知识点，属于中档题．