Question

13．已知f（x）=[x²-（a-3）x-b]（2^x-$\frac{1}{2}$），当x＜0时，f（x）≤0，则a的取值范围为（　　）

• A． a≥2
• B． a≤2
• C． a＜2
• D． 0＜a＜2

Answer 1

分析 令g（x）=x²-（a-3）x-b，根据2^x-$\frac{1}{2}$的符号判断g（x）在（-∞，0）上的符号变化情况，根据二次函数的性质列出不等式即可得出a的范围．

解答 解：令g（x）=x²-（a-3）x-b，
∵当x＜-1时，2^x-$\frac{1}{2}$＜0，当-1＜x＜0时，2^x-$\frac{1}{2}$＞0，且当x＜0时，f（x）≤0，
∴g（x）≥0在（-∞，-1）上恒成立，g（x）≤0在（-1，0）上恒成立．
∴$\left\{\begin{array}{l}{g（-1）=0}\\{g（0）≤0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{1+（a-3）-b=0}\\{-b≤0}\end{array}\right.$，解得a≥2．
故选：A．

点评 本题考查了指数函数，二次函数的性质，属于中档题．