Question

3．设函数f（x）=ae^x（x+2），g（x）=x²+bx+2，已知它们在x=0处有相同的切线．
（1）求函数f（x），g（x）的解析式；
（2）求函数f（x）在[t，t+1]（t＞-4）上的最小值．

Answer 1

分析 （1）求导函数，利用两函数在x=0处有相同的切线，可得3a=b，f（0）=2a=g（0）=2，即可求函数f（x），g（x）的解析式；
（2）求导函数，确定函数的单调性，再分类讨论，即可求出函数f（x）在[t，t+1]（t＞-4）上的最小值．

解答 解：（1）函数f（x）=ae^x（x+2），g（x）=x²+bx+2
可得f'（x）=ae^x（x+3），g'（x）=2x+b，
由题意，两函数在x=0处有相同的切线．
∴f'（0）=3a，g'（0）=b，
∴3a=b，f（0）=2a=g（0）=2，
∴a=1，b=3，
∴f（x）=e^x（x+2），g（x）=x²+3x+2；
（2）f'（x）=e^x（x+3），由f'（x）＞0得x＞-3，由f'（x）＜0得x＜-3，
∴f（x）在（-3，+∞）单调递增，在（-∞，-3）单调递减，
∵t＞-4，∴t+1＞-3，
①当-4＜t＜-3时，f（x）在[t，-3]单调递减，[-3，t+1]单调递增，
∴f（x）的最小值为f（-3）=-e^-3；
②当t≥-3时，f（x）在[t，t+1]单调递增，
∴f（x）的最小值为f（t）=e^t（t+2）．
∴综上可得，当-4＜t＜-3时，f（x）的最小值为-e^-3；
当t≥-3时，f（x）的最小值为e^t（t+2）．

点评 本题考查导数的几何意义，考查函数的单调性，考查分类讨论的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．