Question

5．在实数集R中定义一种运算“*”，对于任意给定的a，b∈R，a*b为唯一确定的实数，且具有性质：
（1）对任意a，b∈R，a*b=b*a；
（2）对任意a∈R，a*0=a；
（3）对任意a，b∈R，（a*b）*c=c*（ab）+（a*c）+（c*b）-2c．
关于函数f（x）=（e^x）*$\frac{1}{e^x}$的性质，有如下命题：
（1）f（x）为偶函数；
（2）f（x）的x=0处取极小值；
（3）f（x）的单调增区间为（-∞，0]；
（4）方程f（x）=4有唯一实根．
其中正确的命题的序号是（1）（2）．

Answer 1

分析 依题意，可求得函数f（x）=1+e^x+$\frac{1}{{e}^{x}}$，利用函数的奇偶性的定义可判断（1）正确；利用f′（x）=e^x-e^-x=$\frac{{e}^{2x}-1}{{e}^{x}}$，通过对x＞0与x＜0的情况的讨论，可判断（2）正确，（3）错误；方程f（x）=4?1+e^x+$\frac{1}{{e}^{x}}$=4?e^x+$\frac{1}{{e}^{x}}$=3，解得：e^x=$\frac{3±\sqrt{5}}{2}$，x=ln$\frac{3±\sqrt{5}}{2}$，可判断（4）错误．

解答 解：依题意，f（x）=（e^x）*$\frac{1}{e^x}$=（e^x*$\frac{1}{e^x}$）*0=0*（e^x•e^-x）+（e^x*0）+（0*$\frac{1}{{e}^{x}}$）-2×0=1+e^x+$\frac{1}{{e}^{x}}$，
对于（1），∵f（-x）=1+e^-x+e^x=f（x），∴f（x）为偶函数，故（1）正确；
对于（2），∵f′（x）=e^x-e^-x=$\frac{{e}^{2x}-1}{{e}^{x}}$，
当x＞0时，f′（x）＞0，函数f（x）=1+e^x+$\frac{1}{{e}^{x}}$在区间（0，+∞）上单调递增，
当x＜0时，f′（x）＜0，函数f（x）=1+e^x+$\frac{1}{{e}^{x}}$在区间（-∞，0）单上调递减，
∴f（x）的x=0处取极小值，故（2）正确；
对于（3），由（2）知，函数f（x）=1+e^x+$\frac{1}{{e}^{x}}$在区间（0，+∞）上单调递增，在区间（-∞，0）单调递减，故（3）错误；
对于（4），方程f（x）=4?1+e^x+$\frac{1}{{e}^{x}}$=4?e^x+$\frac{1}{{e}^{x}}$=3，解得：e^x=$\frac{3±\sqrt{5}}{2}$，x=ln$\frac{3±\sqrt{5}}{2}$，即方程f（x）=4有2个相异的实根，故（4）错误．
综上所述，正确的命题的序号是：（1）（2）．
故答案为：（1）（2）．

点评 本题考查命题的真假判断与应用，考查新定义的理解与应用，求得函数f（x）=1+e^x+$\frac{1}{{e}^{x}}$是关键，也是难点，考查函数的奇偶性、单调性、极值及方程的根的个数判断，考查导数的应用，属于难题．