Question

6．已知数列{a_n}的前n项和S_n满足S_n+1=S_n+$\frac{n+1}{3n}$•a_n（n∈N^*），且a₁=1．
（Ⅰ）证明：数列{$\frac{{a}_{n}}{n}$}是等比数列；
（Ⅱ）求数列{a_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由S_n+1=S_n+$\frac{n+1}{3n}$•a_n，可得∴$\frac{{a}_{n+1}}{n+1}$=$\frac{1}{3}$•$\frac{{a}_{n}}{n}$，故数列{$\frac{{a}_{n}}{n}$}是以1为首项，以$\frac{1}{3}$为公比的等比数列，
（Ⅱ）先求出a_n=n•（$\frac{1}{3}$）^n-1，再利用“错位相减法”与等比数列的求和公式即可得出．

解答 解：（Ⅰ）证明：根据题意可得，S_n+1-S_n=$\frac{n+1}{3n}$•a_n，
∴a_n+1=$\frac{n+1}{3n}$•a_n，
∴$\frac{{a}_{n+1}}{n+1}$=$\frac{1}{3}$•$\frac{{a}_{n}}{n}$，
∵a₁=1，
∴数列{$\frac{{a}_{n}}{n}$}是以1为首项，以$\frac{1}{3}$为公比的等比数列，
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得$\frac{{a}_{n}}{n}$=（$\frac{1}{3}$）^n-1，
∴a_n=n•（$\frac{1}{3}$）^n-1，
∴S_n=1×（$\frac{1}{3}$）⁰+2×（$\frac{1}{3}$）¹+3×（$\frac{1}{3}$）²+…+n•（$\frac{1}{3}$）^n-1，
∴$\frac{1}{3}$S_n=1×（$\frac{1}{3}$）¹+2×（$\frac{1}{3}$）²+3×（$\frac{1}{3}$）³+…+n•（$\frac{1}{3}$）ⁿ，
∴$\frac{2}{3}$S_n=1+（$\frac{1}{3}$）¹+（$\frac{1}{3}$）²+（$\frac{1}{3}$）³+…+（$\frac{1}{3}$）^n-1-n•（$\frac{1}{3}$）ⁿ=$\frac{1-\frac{1}{{3}^{n}}}{1-\frac{1}{3}}$-n•（$\frac{1}{3}$）ⁿ=$\frac{3}{2}$-（$\frac{3}{2}$+n）•（$\frac{1}{3}$）ⁿ，
∴S_n=$\frac{9}{4}$-（$\frac{9}{4}$+$\frac{3n}{2}$）•（$\frac{1}{3}$）ⁿ．

点评 本题考查了等比数列的通项公式与求和公式、数列递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．