Question

12．已知A、B两地的距离是120km，按交通法规规定，A、B两地之间的公路车速应限制在50～100km/h．假设汽油的价格是6元/升，汽车的油耗率为$（3+\frac{x^2}{360}）L/h$，司机每小时的工资是42元，设车速x（单位：km/h），如果不考虑其他费用，行车的总费用为y（单位：元）．
（1）将y表示为x的函数；
（2）最经济的车速是多少？并求出这次行车的最小费用？

Answer 1

分析 （1）利用已知条件设汽车以xkm/h行驶时，行车的总费用为y元，列出函数关系；
（2）利用基本不等式，求出函数的最值即可．

解答 解：（1）设汽车以xkm/h行驶时，行车的总费用为y元，则
y=$\frac{120}{x}$×（3+$\frac{{x}^{2}}{360}$）×6+$\frac{120}{x}$×42=2x+$\frac{7200}{x}$，50≤x≤100．       …（4分）
（2）y=2x+$\frac{7200}{x}$≥2$\sqrt{2x•\frac{7200}{x}}$=240    …（9分）
当且仅当2x=$\frac{7200}{x}$，即x=60时，这次行车的费用最小，
∴最经济的车速为60km/h，此时行车的总费用为240元．   …（10分）

点评 本题考查利用数学知识解决实际问题，考查函数的最值的求法，考查分析问题解决问题的能力．