Question

4．在等差数列{a_n}中，a₁₄+a₁₅+a₁₆=-54，a₉=-36，S_n为其前n项和．
（1）求S_n的最小值，并求出相应的n值；
（2）求T_n=|a₁|+|a₂|+…+|a_n|．

Answer 1

分析 （1）由已知条件求出d=3，令$\left\{{\begin{array}{l}{{a_n}=3n-63≤0}\\{{a_{n+1}}=3n-60≥0}\end{array}}\right.$，求出n的范围，求出S_n的最小值．
（2）数列{a_n}中，前20项小于0，第21项等于0，以后各项均为正数，所以当n≤21时，T_n=-S_n，当n＞21时，T_n=S_n-2S₂₁，由此利用分类讨论思想能求出T_n．

解答 解：（1）设等差数列{a_n}的公差为d，
∵a₁₄+a₁₅+a₁₆=3a₁₅=-54，a₁₅=-18，
∴$d=\frac{{{a_{15}}-{a_9}}}{15-9}=\frac{18}{6}=3$，
∴a_n=a₉+（n-9）×d=3n-63，
∴a_n+1=3（n+1）-63=3n-60
令$\left\{{\begin{array}{l}{{a_n}=3n-63≤0}\\{{a_{n+1}}=3n-60≥0}\end{array}}\right.$，
∴20≤n≤21，
∴${S_{20}}={S_{21}}=\frac{{20（{a_1}+{a_{20}}）}}{2}=-630$，
即当n=20或21时，S_n最小且最小值为-630；
（2）∵a₁=-60，d=3，
∴a_n=-60+（n-1）×3=3n-63，
由a_n=3n-63≥0，得n≥21，
∵a₂₀=3×20-63=-3＜0，a₂₁=3×21-63=0，
∴数列{a_n}中，前20项小于0，第21项等于0，以后各项均为正数，
当n≤21时，${T_n}=-{S_n}=-\frac{{n（{a_1}+{a_n}）}}{2}=-\frac{n（-60+3n-63）}{2}=-\frac{3}{2}{n^2}+\frac{123}{2}n$
当n≥22时，${T_n}={S_n}-2{S_{21}}=\frac{{n（{{a_1}+{a_n}}）}}{2}-2×（-630）=\frac{n（-60+3n-63）}{2}+1260=\frac{3}{2}{n^2}-\frac{123}{2}n+1260$
综上，${T_n}=\left\{{\begin{array}{l}{-\frac{3}{2}{n^2}+\frac{123}{2}n，n≤21，n∈{N^*}}\\{\frac{3}{2}{n^2}-\frac{123}{2}n+1260，n≥22，n∈{N^*}}\end{array}}\right.$

点评 本题考查数列的前n项和的最小值的求法，考查数列的各项的绝对值的和的求法，是中档题，解题时要注意分类讨论思想的合理运用．