Question

10．已知函数$f（x）=-\frac{1}{3}{x^3}+m{x^2}+x+1$在区间[1，2]上单调递增，则m的取值范围是m≥$\frac{3}{4}$．

Answer 1

分析 函数$f（x）=-\frac{1}{3}{x^3}+m{x^2}+x+1$在区间[1，2]上单调递增，等价于f'（x）≥0在（1，2）上恒成立，借助二次函数的性质可的不等式组，解出即可．

解答 解：f′（x）=-x²+2mx+1，
∵函数$f（x）=-\frac{1}{3}{x^3}+m{x^2}+x+1$在区间[1，2]上单调递增，
∴f′（x）≥0即-x²+2mx+1≥0在（1，2）上恒成立，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-1+2m+1≥0}\\{-4+4m+1≥0}\end{array}\right.$，解得m≥$\frac{3}{4}$，
故答案为：m≥$\frac{3}{4}$．

点评 该题考查利用导数研究函数的单调性，考查二次函数的性质、二次不等式的解法．