Question

4．$f（x）=1o{g_{\frac{1}{2}}}（sinxcosx+{cos^2}x）$的单调递减区间为[kπ-$\frac{π}{4}$，kπ+$\frac{π}{8}$]（k∈Z）．

Answer 1

分析 令t=sinxcosx+cos²x，则y=$lo{g}_{\frac{1}{2}}t$单调递减，求出内函数的单调递增区间，即可得出结论．

解答 解：令t=sinxcosx+cos²x，则y=$lo{g}_{\frac{1}{2}}t$单调递减，
t=sinxcosx+cos²x=$\frac{1}{2}$+$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$）＞0，
令2kπ-$\frac{π}{4}$≤2x+$\frac{π}{4}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$
解得kπ-$\frac{π}{4}$≤x≤kπ+$\frac{π}{8}$，单调递增区间为[kπ-$\frac{π}{4}$，kπ+$\frac{π}{8}$]（k∈Z），
∴$f（x）=1o{g_{\frac{1}{2}}}（sinxcosx+{cos^2}x）$的单调递减区间为[kπ-$\frac{π}{4}$，kπ+$\frac{π}{8}$]（k∈Z），
故答案为[kπ-$\frac{π}{4}$，kπ+$\frac{π}{8}$]（k∈Z）．

点评 本题考查正弦函数的单调性，复合函数单调性的求法，化简函数解析式是解题的关键．