Question

18．已知椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$经过点$（1，\frac{{2\sqrt{3}}}{3}）$，左右焦点分别为F₁、F₂，圆x²+y²=2与直线x+y+b=0相交所得弦长为2．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）设Q是椭圆C上不在x轴上的一个动点，Q为坐标原点，过点F₂作OQ的平行线交椭圆C于M、N两个不同的点，求$\frac{|MN|}{|OQ|}$的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知可得：圆心到直线x+y+b=0的距离为1，再由椭圆C经过点$（1，\frac{{2\sqrt{3}}}{3}）$，能求出椭圆C的标准方程．
（Ⅱ）设Q（x₀，y₀），M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），OQ的方程为x=my，则MN的方程为x=my+1．由$\left\{\begin{array}{l}x=my\\ \frac{x^2}{3}+\frac{y^2}{2}=1\end{array}\right.$，得$|OQ|=\sqrt{1+{m^2}}•|{y_0}|$=$\frac{{\sqrt{6}\sqrt{1+{m^2}}}}{{\sqrt{2{m^2}+3}}}$，由$\left\{\begin{array}{l}x=my+1\\ \frac{x^2}{3}+\frac{y^2}{2}=1\end{array}\right.$，得（2m²+3）y²+4my-4=0，由此能求出$\frac{|MN|}{|OQ|}$的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）由已知可得：圆心到直线x+y+b=0的距离为1，
即$\frac{b}{{\sqrt{2}}}=1$，所以$b=\sqrt{2}$，
又椭圆C经过点$（1，\frac{{2\sqrt{3}}}{3}）$，
所以$\frac{1}{a^2}+\frac{4}{{3{b^2}}}=1$，得到$a=\sqrt{3}$，
所以椭圆C的标准方程为$\frac{x^2}{3}+\frac{y^2}{2}=1$．
（Ⅱ）设Q（x₀，y₀），M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
OQ的方程为x=my，
则MN的方程为x=my+1．
由$\left\{\begin{array}{l}x=my\\ \frac{x^2}{3}+\frac{y^2}{2}=1\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{x^2}=\frac{{6{m^2}}}{{2{m^2}+3}}\\{y^2}=\frac{6}{{2{m^2}+3}}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{x_0}^2=\frac{{6{m^2}}}{{2{m^2}+3}}\\{y_0}^2=\frac{6}{{2{m^2}+3}}.\end{array}\right.$，
所以$|OQ|=\sqrt{1+{m^2}}•|{y_0}|$=$\frac{{\sqrt{6}\sqrt{1+{m^2}}}}{{\sqrt{2{m^2}+3}}}$，
由$\left\{\begin{array}{l}x=my+1\\ \frac{x^2}{3}+\frac{y^2}{2}=1\end{array}\right.$，得（2m²+3）y²+4my-4=0，
所以${y_1}+{y_2}=-\frac{4m}{{2{m^2}+3}}$，${y_1}{y_2}=-\frac{4}{{2{m^2}+3}}$，
$|MN|=\sqrt{1+{m^2}}•|{y_1}-{y_2}|$=$\sqrt{1+{m^2}}•\sqrt{{{（{y_1}+{y_2}）}^2}-4{y_1}{y_2}}$
=$\sqrt{1+{m^2}}•\sqrt{\frac{{16{m^2}}}{{{{（2{m^2}+3）}^2}}}+\frac{16}{{2{m^2}+3}}}$
=$\sqrt{1+{m^2}}•\frac{{4\sqrt{3}\sqrt{1+{m^2}}}}{{2{m^2}+3}}=\frac{{4\sqrt{3}（1+{m^2}）}}{{2{m^2}+3}}$，
所以$\frac{|MN|}{|OQ|}=\frac{{\frac{{4\sqrt{3}（1+{m^2}）}}{{2{m^2}+3}}}}{{\sqrt{\frac{{6（1+{m^2}）}}{{2{m^2}+3}}}}}=2\sqrt{2}•\frac{{\sqrt{1+{m^2}}}}{{\sqrt{2{m^2}+3}}}=2\sqrt{2}•\sqrt{\frac{{1+{m^2}}}{{2{m^2}+3}}}=2\sqrt{2}•\sqrt{\frac{1}{{2+\frac{1}{{1+{m^2}}}}}}$，
因为1+m²≥1，所以$0＜\frac{1}{{1+{m^2}}}≤1$，即$2＜2+\frac{1}{{1+{m^2}}}≤3$，即$\frac{1}{3}≤\frac{1}{{2+\frac{1}{{1+{m^2}}}}}＜\frac{1}{2}$，
所以$\frac{{2\sqrt{6}}}{3}≤\frac{|MN|}{|OQ|}＜2$，
即$\frac{|MN|}{|OQ|}$的取值范围为$[\frac{{2\sqrt{6}}}{3}，2）$．

点评 本题考查椭圆方程、直线方程、直线与椭圆的位置关系、韦达定理、弦长公式等基础知识，考查推理论证能力、数据处理能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．