Question

6．设椭圆E的中心为原点，它在x轴上的一个焦点与短轴的两个端点的连线互相垂直，且此焦点和长轴的较近端点的距离等于$\sqrt{10}$-$\sqrt{5}$．
（1）求椭圆E的方程；
（2）已知双曲线H的左、右焦点F₁、F₂与椭圆E的两个焦点相同，E与H在第一象限交于点P且|PF₁||PF₂|=6，求双曲线H的方程．

Answer 1

分析 （1）由题意可知△AOF₁为等腰直角三角形，a=$\sqrt{2}$c，且满足a-c=$\sqrt{10}$-$\sqrt{5}$，即可求得a和b的值，求得椭圆E的方程；
（2）由（1）可知c=$\sqrt{5}$，根据椭圆及双曲线的定义（|PF₂|-|PF₂|）²=（|PF₂|+|PF₂|）²-4|PF₁||PF₂|=16，丨|PF₂|-|PF₂|丨=2a=4，b²=c²-a²=1，即可求得双曲线H的方程．

解答 解：（1）由题意可知：设椭圆方程$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$（a＞b＞0），
由AF₁⊥BF₁，则△AOF₁为等腰直角三角形，
即b=c，由a²=b²+c²=2c²，则a=$\sqrt{2}$c，①
由焦点和长轴的较近端点的距离等于$\sqrt{10}$-$\sqrt{5}$．即a-c=$\sqrt{10}$-$\sqrt{5}$，②
解得：a=$\sqrt{10}$，c=$\sqrt{5}$，
则b=$\sqrt{5}$，
∴椭圆的标准方程$\frac{{x}^{2}}{10}+\frac{{y}^{2}}{5}=1$；

（2）由（1）可知双曲线的焦点坐标F₁（-$\sqrt{5}$，0），F₂（$\sqrt{5}$，0），
设双曲线的方程：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$，（a＞0，b＞0），
由题意可知：|PF₁|+|PF₂|=2$\sqrt{10}$，|PF₁||PF₂|=6，
则（|PF₂|-|PF₂|）²=（|PF₂|+|PF₂|）²-4|PF₁||PF₂|=16，
∴丨|PF₂|-|PF₂|丨=2a=4，则a=2，
由b²=c²-a²=1，则双曲线的标准方程为：$\frac{{x}^{2}}{4}-{y}^{2}=1$；
双曲线H的方程$\frac{{x}^{2}}{4}-{y}^{2}=1$．

点评 本题考查椭圆及双曲线的标准方程及简单几何性质，考查椭圆的定义，属于中档题．