Question

1．已知圆O：x²+y²=4（其中O为圆心）上的每一点横坐标不变，纵坐标变为原来的一半，得到曲线C
（1）求曲线C的离心率；
（2）若点P为曲线C上一点，过点P作曲线C的切线交圆O于不同的两点A，B（其中A在B的右侧），已知点F₁（-$\sqrt{3}$，0），F₂（$\sqrt{3}$，0），求四边形ABF₁F₂面积的最大值．

Answer 1

分析 （1）设点P（x'，y'），点M的坐标为（x，y），由题意可知x′=x，y′=2y，由此能求出点M的轨迹C的方程，进一步求出椭圆的离心率；
（2）四边形ABF₁F₂面积S，S=S_△ABO+${S}_{△B{F}_{1}O}$+${S}_{△A{F}_{2}O}$，设直线AB：y=kx+m，代入椭圆方程，利用点到直线的距离公式及丨AB丨=2$\sqrt{4-\frac{{m}^{2}}{{k}^{2}+1}}$，求得S_△ABO，将直线方程代入圆的方程，利用韦达定理，求得${S}_{△B{F}_{1}O}$+${S}_{△A{F}_{2}O}$，由k²=$\frac{{m}^{2}-1}{4}$，易知k²≥0，求得丨m丨≥1，利用基本不等式的性质，即可求得四边形ABF₁F₂面积的最大值．

解答 解：（1）设圆O上点P（x'，y'），曲线C上点M的坐标为
由题意可知x′=x，y′=2y，
又x'²+y'²=4，∴x²+4y²=4，即$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}$=1．
∴点M的轨迹C的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}$=1，则a²=4，b²=1，
$c=\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}=\sqrt{3}$，
离心率e=$\frac{\sqrt{3}}{2}$；
（2）易知直线AB的斜率k存在，设AB：y=kx+m，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，（4k²+1）x²+8kmx+4（m²-1）=0，
则△=（8km）²-16（4k²+1）（m²-1）=0，整理得：4k²-m²+1=0，即m²=4k²+1，
由四边形ABF₁F₂面积S，S=S_△ABO+${S}_{△B{F}_{1}O}$+${S}_{△A{F}_{2}O}$，
设点O到直线AB：kx-y+m=0的距离为d，d=$\frac{丨m丨}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，
则丨AB丨=2$\sqrt{丨OA{丨}^{2}-{d}^{2}}$=2$\sqrt{4-\frac{{m}^{2}}{{k}^{2}+1}}$，
S_△ABO=$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{4-\frac{{m}^{2}}{{k}^{2}+1}}$×$\frac{丨m丨}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，
=$\sqrt{4-\frac{{m}^{2}}{{k}^{2}+1}}$×$\frac{丨m丨}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，
=$\frac{\sqrt{（4{k}^{2}+4-{m}^{2}）{m}^{2}}}{{k}^{2}+1}$=$\frac{\sqrt{3}丨m丨}{{k}^{2}+1}$，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{{x}^{2}+{y}^{2}=4}\end{array}\right.$，整理得：（k²+1）x²+2kmx+m²-4=0，
由韦达定理可知：x₁+x₂=-$\frac{2km}{{k}^{2}+1}$，x₁x₂=$\frac{{m}^{2}-4}{{k}^{2}+1}$，
y₁+y₁=kx₁+m+kx₂+m=k（x₁+x₂）+2m=$\frac{2m}{{k}^{2}+1}$，
${S}_{△B{F}_{1}O}$+${S}_{△A{F}_{2}O}$=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{3}$丨y₁丨+$\frac{1}{2}$×$\sqrt{3}$丨y₂丨=$\frac{\sqrt{3}}{2}$（丨y₁丨+丨y₂丨）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$丨y₁+y₂丨=$\frac{\sqrt{3}丨m丨}{{k}^{2}+1}$，
S=S_△ABO+（${S}_{△B{F}_{1}O}$+${S}_{△A{F}_{2}O}$）=$\frac{\sqrt{3}丨m丨}{{k}^{2}+1}$+$\frac{\sqrt{3}丨m丨}{{k}^{2}+1}$=$\frac{2\sqrt{3}丨m丨}{{k}^{2}+1}$

而m²=4k²+1，k²=$\frac{{m}^{2}-1}{4}$，易知k²≥0，
∴m²≥1，丨m丨≥1，
四边形ABF₁F₂面积S，S=$\frac{2\sqrt{3}丨m丨}{\frac{{m}^{2}-1}{4}+1}$=$\frac{8\sqrt{3}丨m丨}{{m}^{2}+3}$=$\frac{8\sqrt{3}}{丨m丨+\frac{3}{丨m丨}}$≤$\frac{8\sqrt{3}}{2\sqrt{丨m丨×\frac{3}{丨m丨}}}$4，
当且仅当丨m丨=$\frac{3}{丨m丨}$时，即m=±$\sqrt{3}$，
∴四边形ABF₁F₂面积的最大值4．

点评 本题考查的标准方程及简单几何性质，直线与椭圆及圆的位置关系，考查韦达定理，弦长公式，三角形的面积公式，考查点到直线的距离公式，基本不等式的应用，属于难题．