Question

10．如图，梯形ABCD中，∠BAD=∠ADC=90°，CD=2AD=2，四边形BDEF为矩形，
平面BDEF丄平面ABCD，BD⊥CF．
（1）若AF⊥CE，求证：CE⊥DF
（2）在棱AE上是否存在点G，使得直线BG∥平面EFC？并说明理由•

Answer 1

分析 （1）以D为原点，DA、DC‘DE为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明CE⊥DF．
（2）求出平面EFC的一个法向量，利用向量法推导出在棱AE上存在点G，使得直线BG∥平面EFC，且$\frac{AG}{GE}$=$\frac{1}{2}$．

解答 证明：（1）∵梯形ABCD中，∠BAD=∠ADC=90°，CD=2AD=2，四边形BDEF为矩形，
平面BDEF丄平面ABCD，BD⊥CF，AF⊥CE，
∴DA、DC、DE两两垂直，
∴以D为原点，DA、DC‘DE为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，
设DE=m，AB=y，则D（0，0，0），B（1，y，0），A（1，0，0），E（0，0，m），F（1，y，m），C（0，2，0），
$\overrightarrow{DB}=（1，y，0），\overrightarrow{CF}=（1，y-2，m）$，
∵BD⊥CF，∴$\overrightarrow{DB}•\overrightarrow{CF}=1+{y}^{2}-2y=0$，解得y=1，
∴$\overrightarrow{AF}$=（0，1，m），$\overrightarrow{CE}$=（0，-2，m），$\overrightarrow{DF}$=（1，1，m），
∵AF⊥CE，∴$\overrightarrow{AF}•\overrightarrow{CE}$=-2+m²=0，
∵$\overrightarrow{CE}•\overrightarrow{DF}$=-2+m²，∴$\overrightarrow{CE}•\overrightarrow{DF}$=0，
∴CE⊥DF．
解：（2）在棱AE上存在点G，使得直线BG∥平面EFC，且$\frac{AG}{GE}$=$\frac{1}{2}$．
证明如下：
由（1）知G（$\frac{2}{3}，0，\frac{m}{3}$），
∴$\overrightarrow{BG}$=（-$\frac{1}{3}，-1，\frac{m}{3}$），$\overrightarrow{EF}$=（1，1，0），$\overrightarrow{EC}$=（0，2，-m），
设平面EFC的一个法向量$\overrightarrow{n}$=（a，b，c），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{EF}=a+b=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{EC}=2b-mc=0}\end{array}\right.$，取b=1，得$\overrightarrow{n}$=（-1，1，$\frac{2}{m}$），
∵$\overrightarrow{BG}•\overrightarrow{n}$=（-$\frac{1}{3}$）×（-1）+（-1）×1+$\frac{m}{3}•\frac{2}{m}$=0，
∴$\overrightarrow{BG}⊥\overrightarrow{n}$，
∵BG?平面EFC，
∴BG∥平面EFC．

点评 本题考查线线垂直的证明，考查满足线面平行的点是否存在的判断与求法，考查空间中线线、线面、面面的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、数据处理能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、数形结合思想，是中档题．