Question

1．已知正项数列{a_n}的前n项和为S_n，若{a_n}和$\left\{{\sqrt{S_n}}\right\}$都是等差数列，且公差相等．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）令b_n=$\frac{1}{{4{a_n}}}$，c_n=b_n•b_n+1，求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）利用等差数列的通项公式与求和公式即可得出．
（2）利用裂项求和方法即可得出．

解答 解：（1）∵{a_n}为等差数列，且S_n为其前n项和，∴$\sqrt{S_n}=\sqrt{\frac{d}{2}{n^2}+（{a_1}-\frac{d}{2}}）n$，
又∵$\left\{{\sqrt{S_n}}\right\}$为等差数列，且与{a_n}公差相等，
∴$\left\{{\begin{array}{l}{d=\sqrt{\frac{d}{2}}}\\{{a_1}-\frac{d}{2}=0}\end{array}}\right.$，∴$\left\{{\begin{array}{l}{d=\frac{1}{2}}\\{{a_1}=\frac{1}{4}}\end{array}}\right.$，
∴a_n=a₁+（n-1）d=$\frac{1}{4}+（n-1）•\frac{1}{2}=\frac{1}{2}n-\frac{1}{4}$．
（2）∵${b_n}=\frac{1}{{4{a_n}}}$C_n=b_n•b_n+1，
∴${C_n}=\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）$，
∴T_n=C₁+…+C_n=$\frac{1}{2}（{\frac{1}{1}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}}\right.+…$$\left.{+\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}}）=\frac{n}{2n+1}$．

点评 本题考查了等差数列的通项公式与求和公式、裂项求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．