Question

9．设实数a，b，c满足a²+b²+c²=1．
（Ⅰ）证明：ab+bc+ac≤1；
（Ⅱ）若$\sqrt{2}$a+$\sqrt{3}$b+2c≤|x-1|+|x+m|对任意的实数a，b，c，x恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用基本不等式可得a²+b²≥2ab，b²+c²≥2bc，c²+a²≥2ca，三式相加即得结论．由
（Ⅱ）柯西不等式，我们易结合a²+b²+c²=1，得到$\sqrt{2}$a+$\sqrt{3}$b+2c≤3，再由$\sqrt{2}$a+$\sqrt{3}$b+2c≤|x-1|+|x+m|对任意的实数a，b，c，x恒成立，得到3≤|x-1|+|x+m|，进而解绝对值不等式，即可得到答案．

解答 （Ⅰ）证明：由a²+b²≥2ab，b²+c²≥2bc，c²+a²≥2ca，
三式相加即得a²+b²+c²≥ab+bc+ca，又a²+b²+c²=1，
所以ab+bc+ca≤1．
（Ⅱ）解：∵（$\sqrt{2}$a+$\sqrt{3}$b+2c）²≤（2+3+4）（a²+b²+c²）=9
∴$\sqrt{2}$a+$\sqrt{3}$b+2c≤3
又∵$\sqrt{2}$a+$\sqrt{3}$b+2c≤|x-1|+|x+m|对任意的实数a，b，c，x恒成立，
∴3≤|x-1|+|x+m|，
∵|x-1|+|x+m|≥|m+1|，
∴|m+1|≥3
解得m≤-4或m≥2．

点评 本题考查不等式的证明，考查基本不等式的运用，考查柯西不等式、绝对值不等式求解，属于中档题．