Question

19．函数f（x）=|x|-$\frac{a}{x}$（a∈R）的图象不可能是（　　）

• A．
• B．
• C．
• D．

Answer 1

分析 讨论a的范围，利用导数判断f（x）的单调性得出答案．

解答 解：f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x-\frac{a}{x}，x＞0}\\{-x-\frac{a}{x}，x＜0}\end{array}\right.$，∴f′（x）=$\left\{\begin{array}{l}{1+\frac{a}{{x}^{2}}，x＞0}\\{-1+\frac{a}{{x}^{2}}，x＜0}\end{array}\right.$．
（1）当a=0时，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x，x＞0}\\{-x，x＜0}\end{array}\right.$，图象为A；
（2）当a＞0时，1+$\frac{a}{{x}^{2}}$＞0，∴f（x）在（0，+∞）上单调递增，
令-1+$\frac{a}{{x}^{2}}$=0得x=-$\sqrt{a}$，∴当x＜-$\sqrt{a}$时，-1+$\frac{a}{{x}^{2}}$＜0，当-$\sqrt{a}$＜x＜0时，-1+$\frac{a}{{x}^{2}}$＞0，
∴f（x）在（-∞，-$\sqrt{a}$）上单调递减，在（-$\sqrt{a}$，0）上单调递增，图象为D；
（3）当a＜0时，-1+$\frac{a}{{x}^{2}}$＜0，∴f（x）在（-∞，0）上单调递减，
令1+$\frac{a}{{x}^{2}}$=0得x=$\sqrt{-a}$，∴当x＞$\sqrt{-a}$时，1+$\frac{a}{{x}^{2}}$＞0，当0＜x＜$\sqrt{-a}$时，1+$\frac{a}{{x}^{2}}$＜0，
∴f（x）在（0，$\sqrt{-a}$）上单调递减，在（$\sqrt{-a}$，+∞）上单调递增，图象为B；
故选C．

点评 本题考查了导数与函数单调性的关系，分类讨论思想，属于中档题．