Question

4．已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．设向量$\overrightarrow{m}$=（a-c，a-b），$\overrightarrow{n}$=（a+b，c），且$\overrightarrow{m}$∥$\overrightarrow{n}$．
（Ⅰ）求∠B；
（Ⅱ）若M是BC的中点，且AM=AC，求sin∠BAC的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由$\overrightarrow{m}$∥$\overrightarrow{n}$．得a²+c²-b²=ac．即cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}=\frac{1}{2}$，求得B．
（Ⅱ）．M是BC的中点，且AM=AC，可得4bcosC=a，$\frac{a}{b}=4cosC=\frac{sinA}{sinB}=\frac{sin（C+\frac{π}{3}）}{sin\frac{π}{3}}$，$tanC=3\sqrt{3}$，sinC=$\frac{3\sqrt{3}}{2\sqrt{7}}$，cosC=$\frac{1}{2\sqrt{7}}$．$sin∠BAC=sin（C+\frac{π}{3}）=\frac{\sqrt{3}}{2}×\frac{1}{2\sqrt{7}}+\frac{1}{2}\\;\\;\$×$\frac{3\sqrt{3}}{2\sqrt{7}}$=$\frac{\sqrt{21}}{7}$．

解答 解：（Ⅰ）∵$\overrightarrow{m}$=（a-c，a-b），$\overrightarrow{n}$=（a+b，c），且$\overrightarrow{m}$∥$\overrightarrow{n}$．
∴（a-c）c=（a+b）（a-b），∴a²+c²-b²=ac．
由余弦定理得cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}=\frac{1}{2}$．
又因为0＜B＜π，∴$B=\frac{π}{3}$．
（Ⅱ）∵M是BC的中点，且AM=AC，∴4bcosC=a，
∴$\frac{a}{b}=4cosC=\frac{sinA}{sinB}=\frac{sin（C+\frac{π}{3}）}{sin\frac{π}{3}}$，
∴2$\sqrt{3}$sinC=$\frac{\sqrt{3}}{2}cosC+\frac{1}{2}sinC$
⇒3$\sqrt{3}$cosC=sinC，∴$tanC=3\sqrt{3}$，sinC=$\frac{3\sqrt{3}}{2\sqrt{7}}$，cosC=$\frac{1}{2\sqrt{7}}$．
$sin∠BAC=sin（C+\frac{π}{3}）=\frac{\sqrt{3}}{2}×\frac{1}{2\sqrt{7}}+\frac{1}{2}\\;\\;\$×$\frac{3\sqrt{3}}{2\sqrt{7}}$=$\frac{\sqrt{21}}{7}$．

点评 本题考查了向量数量积、正余弦定理，三角恒等变换，属于中档题．