Question

19．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x+\frac{1}{x}，x＞0}\\{{log}_{\frac{1}{2}}|x|，x＜0}\end{array}\right.$，若方程f（x²-x）=a有六个根，则实数a的取值范围是（　　）

• A． （1，2）
• B． （-1，2）
• C． （1，+∞）
• D． （2，+∞）

Answer 1

分析 令x²-x=t，得出关于x的方程x²-x=t的解得分布情况，作出f（t）的函数图象，讨论关于t的方程f（t）=a的解得情况，从而得出方程f（x²-x）=a的解的个数．

解答 解：f（x）的定义域为{x|x≠0}，
令x²-x=t（x≠0），则t≥-$\frac{1}{4}$，
且t=-$\frac{1}{4}$或t=0时，方程x²-x=t只有一解，
当-$\frac{1}{4}$＜t＜0或t＞0时，方程x²-x=t有两解，
∴f（t）=$\left\{\begin{array}{l}{t+\frac{1}{t}，t＞0}\\{lo{g}_{\frac{1}{2}}（-t），-\frac{1}{4}≤t＜0}\end{array}\right.$，
∴f（t）在[-$\frac{1}{4}$，0）上单调递增，在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，
作出y=f（t）的函数图象如图所示：

由图象可知，当a＜2时，关于t的方程f（t）=a无解，
∴方程f（x²-x）=a无解，不符合题意；
当a=2时，关于t的方程f（t）=a有两解t₁=-$\frac{1}{4}$，t₂=1，
∵x²-x=-$\frac{1}{4}$只有一解，x²-x=1有两解，
∴方程f（x²-x）=a有三解，不符合题意；
当a＞2时，关于t的方程f（t）=a有三解，不妨从t₁＜t₂＜t₃，
显然-$\frac{1}{4}$＜t₁＜0，0＜t₂＜1，t₃＞1，
又关于x的方程x²-x=t_i（i=1，2，3）都有两解，
∴方程f（x²-x）=a有六解，符合题意．
故选D．

点评 本题考查了方程的根与函数图象的关系，属于中档题．