Question

（本小题满分12分）

已知F₁(－2，0)，F₂(2，0)，点P满足|PF₁|－|PF₂|＝2，记点P的轨迹为S，过点F₂作直线与轨迹S交于P、Q两点，过P、Q作直线x＝的垂线PA、QB，垂足分别为A、B，记λ＝|AP|·|BQ|．

（1）求轨迹S的方程；

（2）设点M（－1，0），求证：当λ取最小值时，△PMQ的面积为9．

Answer 1

（1）x²－＝1 (x≥1)（2）见解析

解析:

（1）由|PF₁|－|PF₂|＝2＜|F₁F₂|知，点P的轨迹S是以F₁、F₂为焦点的双曲线右支．

由c＝2,2a＝2，∴b²＝3．故轨迹S的方程为x²－＝1 (x≥1)   …….……4分

（2）当直线l的斜率存在时，设直线方程为y＝k(x－2)，P(x₁，y₁)，Q(x₂，y₂)，与双曲线方程联立消y得

(k²－3)x²－4k²x＋4k²＋3＝0．                                 …………5分

∴

   解得k²＞3．…… 7分

|AP|·|BQ|＝＝(2x₁－1)(2x₂－1)

＝[4x₁x₂－2(x₁＋x₂)＋1]＝x₁x₂－＋

＝－＋＝＋＝＋＞．        ………..…………..9分

当斜率不存在时，|AP|·|BQ|＝，∴λ的最小值为．         ………………10分

此时，|PQ|＝6，|MF₂|＝3，S_△PMQ＝|MQ|·|PQ|＝9．        ………………12分