Question

若关于x的方程x³-4x²+5x+2a=0有三个实数根x₁，x₂，x₃，那么当max{x₁，x₂，x₃}取得最大值时，实数a的值是

 

．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值

专题：导数的综合应用

分析：令f（x）=x³-4x²+5x，f′（x）=3x²-8x+5=（3x-5）（x-1），从而得到x∈（-∞，1]∪[

5

3

，+∞） 时，f（x）是增函数，x∈（1，

5

3

）时，f（x）是减函数，由此得到a∈[-2，-

50

27

]．三根中最大的根取得最大值时，有a=-2，x=1是两重根，较大根的最大值是2．

解答： 解：令f（x）=x³-4x²+5x，
f′（x）=3x²-8x+5=（3x-5）（x-1），
令f′（x）=0，解得x₁=

5

3

，x₂=1，
从而有x＞

5

3

或x＜1时，f′（x）＞0，1＜x＜

5

3

时，f′（x）＜0，
∴x∈（-∞，1]∪[

5

3

，+∞） 时，f（x）是增函数
x∈（1，

5

3

）时，f（x）是减函数，
∵f（1）=2，f（

5

3

）=

50

27

＜f（1），
这样，如果要 f（x）+a=0，即 f（x）=-a有三个实根，必有
f（

5

3

）≤f（x）≤f（1）即

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≤-a≤2，
∴-2≤a≤-

50

27

，即a∈[-2，-

50

27

]，
∵f（1）＞f（

5

3

），∴-a=f（1），
三根中最大的根取得最大值，
这时，有a=-2，x=1是两重根，可以解出另一根：
x³-4x²+5x-2=0
（x-1）²（x-2）=0
∴较大根的最大值是2，此时a=-2．
∴max{x₁，x₂，x₃}取得最大值时，实数a的值为-2．
故答案为：-2．

点评：本题考查实数值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．