Question

在△ABC中，△ABC的面积为S，且A=120°．
（1）若b=2且S=2

3

，求a的值；
（2）若a=2，求S的最大值．

Answer 1

分析：（1）根据三角形的面积公式，算出c=4．再由余弦定理a²=b²+c²-2bccosA的式子，即可算出a的值；
（2）根据余弦定理，结合题中数据算出b²+c²+bc=4，利用基本不等式算出bc≤

4

3

（当且仅当b=c时取等号），由此利用三角形面积公式即可算出S的最大值．

解答：解：（1）∵b=2且S=2

3

，A=120°．
∴由S=

1

2

bcsinA，得

1

2

•2•c•

3

2

=2

3

，解得c=4，
根据余弦定理，得
a2=b2+c2-2bccosA=4+16-2•2•4•(-

1

2

)=28，
∴a=2

7

（舍负）．
（2）∵a=2，A=120°．
∴由余弦定理，得a²=b²+c²-2bccos120°=b²+c²+bc=4
∵b²+c²≥2bc，∴代入上式得：3bc≤4，可得bc≤

4

3

，（当且仅当b=c时取等号）
∵S=

1

2

bcsinA=

3

4

bc，∴S≤

3

4

•

4

3

=

3

3

，
当b=c=

2 3

3

时，S的最大值为

3

3

．

点评：本题着重考查了三角形的面积公式、利用余弦定理解三角形和基本不等式求最值等知识，属于中档题．