Question

设函数f（x）=

ax-1

x+1

，其中a∈R．
（1）若a=1，f（x）的定义域为区间[0，3]，求f（x）的最大值和最小值；
（2）若f（x）的定义域为区间（0，+∞），求a的取值范围，使f（x）在定义域内是单调减函数．

Answer 1

分析：由于本题两个小题都涉及到函数的单调性的判断，故可先设x₁，x₂∈R，得到f（x₁）-f（x₂）差，将其整理成几个因子的乘积
（1）将a=1的值代入，判断差的符号得出函数的单调性，即可确定函数在区间[0，3]的最大值，计算出结果即可
（2）由于函数是定义域（0，+∞）是减函数，设x₁＞x₂＞0，则有f（x₁）-f（x₂）＜0，由此不等式即可得出参数的取值范围．

解答：解：f（x）=

ax-1

x+1

=

a(x+1)-a-1

x+1

=a-

a+1

x+1

，
设x₁，x₂∈R，则f（x₁）-f（x₂）=

a+1

x2+1

-

a+1

x1+1

=

(a+1)(x1-x2)

(x1+1)(x2+1)

．
（1）当a=1时，f（x）=1-

2

x+1

，设0≤x₁＜x₂≤3，
则f（x₁）-f（x₂）=

2(x1-x2)

(x1+1)(x2+1)

，
又x₁-x₂＜0，x₁+1＞0，x₂+1＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，∴f（x₁）＜f（x₂）．
∴f（x）在[0，3]上是增函数，
∴f（x）_max=f（3）=1-

2

4

=

1

2

，f（x）_min=f（0）=1-

2

1

=-1．
（2）设x₁＞x₂＞0，则x₁-x₂＞0，x₁+1＞0，x₂+1＞0．
若使f（x）在（0，+∞）上是减函数，只要f（x₁）-f（x₂）＜0，而f（x₁）-f（x₂）=

(a+1)(x1-x2)

(x1+1)(x2+1)

，
∴当a+1＜0，即a＜-1时，有f（x₁）-f（x₂）＜0，
∴f（x₁）＜f（x₂）．
∴当a＜-1时，f（x）在定义域（0，+∞）内是单调减函数．

点评：本题考查函数单调性的判断与单调性的性质，解答的关键是熟练掌握函数单调性判断的方法定义法，本题考查了推理判断的能力及运算能力，属于中档题