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    已知an=数学公式n∈N*求证：an＜1．

    证明：（1）当n=1时，a1=＜1，不等式成立．
    （2）假设n=k（k≥1）时，不等式成立，即ak=＜1
    亦即1+22+32+…+k2＜（k+1）k
    当n=k+1时：ak+1=＜==（）k＜1．
    所以n=k+1时，不等式也成立．
    由（1）、（2）知，对一切n∈N*，不等式都成立．
    即an＜1得证．
    分析：首先分析题目已知an=求证：an＜1．考虑到可以应用数学归纳法求解，首先验证当n=1时，不等式成立，再假设n=k（k≥1）时，不等式成立，推得当n=k+1时不等式也成立．即得证．
    点评：此题主要考查由数学归纳法证明不等式，数学归纳法在高考中属于重要的考点，应用广泛，需要同学们灵活掌握．
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    科目：高中数学 来源： 题型：

    设A（x1，y1），B（x2，y2）是函数f(x)=
    1
    2
    +log2
    x
    1-x
    的图象上两点，且
    OM
    =
    1
    2
    (
    OA
    +
    OB
    )    ，O为坐标原点，已知点M的横坐标为
    1
    2
    ．
    （Ⅰ）求证：点M的纵坐标为定值；
    （Ⅱ）定义定义Sn=
    n-1
    i=1
    f(
    i
    n
    )=f(
    1
    n
    )+f(
    2
    n
    )+…+f(
    n-1
    n
    )    ，其中n∈N*且n≥2，求S2011；
    （Ⅲ）对于（Ⅱ）中的Sn，设an=
    1
    2Sn+1
    (n∈N*)    ．若对于任意n∈N*，不等式kan3-3an2+1＞0恒成立，试求实数k的取值范围．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2013•西城区一模）已知集合Sn={X|X=(x1，x2，…，xn)，xi∈N*，i=1，2，…，n} (n≥2)．对于A=（a1，a2，…，an），B=（b1，b2，…，bn）∈Sn，定义
    AB
    =(b1-a1，b2-a2，…，bn-an)    ；λ（a1，a2，…，an）=（λa1，λa2，…，λan）（λ∈R）；A与B之间的距离为d(A，B)=
    n
    i=1
    |ai-bi|    ．
    （Ⅰ）当n=5时，设A=（1，2，1，2，a5），B=（2，4，2，1，3）．若d（A，B）=7，求a5；
    （Ⅱ）（ⅰ）证明：若A，B，C∈Sn，且?λ＞0，使
    AB
    =λ
    BC
    ，则d（A，B）+d（B，C）=d（A，C）；
    （ⅱ）设A，B，C∈Sn，且d（A，B）+d（B，C）=d（A，C）．是否一定?λ＞0，使
    AB
    =λ
    BC
    ？说明理由；
    （Ⅲ）记I=（1，1，…，1）∈Sn．若A，B∈Sn，且d（I，A）=d（I，B）=p，求d（A，B）的最大值．

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    科目：高中数学 来源： 题型：解答题

    已知{an}是正数组成的数列，a1=1，且点数学公式在函数y=x2+1的图象上．数列{bn}满足b1=0，bn+1=bn+3an（n∈N*）．
    （I）求数列{an}，{bn}的通项公式；
    （II）若cn=anbncosnπ（n∈N*），求数列{cn}的前n项和Sn．

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    科目：高中数学 来源：2012-2013学年湖北省黄冈中学高三（上）10月月考数学试卷（文科）（解析版） 题型：解答题

    已知{an}是正数组成的数列，a1=1，且点在函数y=x2+1的图象上．数列{bn}满足b1=0，bn+1=bn+3an（n∈N*）．
    （I）求数列{an}，{bn}的通项公式；
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