Question

（2013•西城区一模）已知集合Sn={X|X=(x1，x2，…，xn)，xi∈N*，i=1，2，…，n} (n≥2)．对于A=（a₁，a₂，…，a_n），B=（b₁，b₂，…，b_n）∈S_n，定义

AB

=(b1-a1，b2-a2，…，bn-an)；λ（a₁，a₂，…，a_n）=（λa₁，λa₂，…，λa_n）（λ∈R）；A与B之间的距离为d(A，B)=

n

i=1

|ai-bi|．
（Ⅰ）当n=5时，设A=（1，2，1，2，a₅），B=（2，4，2，1，3）．若d（A，B）=7，求a₅；
（Ⅱ）（ⅰ）证明：若A，B，C∈S_n，且?λ＞0，使

AB

=λ

BC

，则d（A，B）+d（B，C）=d（A，C）；
（ⅱ）设A，B，C∈S_n，且d（A，B）+d（B，C）=d（A，C）．是否一定?λ＞0，使

AB

=λ

BC

？说明理由；
（Ⅲ）记I=（1，1，…，1）∈S_n．若A，B∈S_n，且d（I，A）=d（I，B）=p，求d（A，B）的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由于A=（1，2，1，2，a₅），B=（2，4，2，1，3），利用d（A，B）=

5

i=1

|ai-bi|=7即可求得求a₅；
（Ⅱ）（ⅰ）设A=（a₁，a₂，…，a_n），B=（b₁，b₂，…，b_n），C=（c₁，c₂，…，c_n），依题意可求得 b_i-a_i与c_i-b_i（i=1，2，…，n）同为非负数或同为负数，从而可证得结论；
（ⅱ）设A，B，C∈S_n，且d（A，B）+d（B，C）=d（A，C）不一定?λ＞0，使

AB

=λ

BC

，可举反例，取A=（1，1，1，…，1），B=（1，2，1，1，…，1），C（2，2，2，1，1，…，1），即可；
（Ⅲ）依题意，设b_i-a_i（i=1，2，…，n）中有m（m≤n）项为非负数，n-m项为负数．不妨设i=1，2，…，m时b_i-a_i≥0；i=m+1，m+2，…，n时，b_i-a_i＜0，由d（I，A）=d（I，B）=p，可求得d（A，B）=2p．

解答：（Ⅰ）解：当n=5时，由d（A，B）=

5

i=1

|ai-bi|=7，
得|1-2|+|2-4|+|1-2|+|2-1|+|a₅-3|=7，即|a₅-3|=2．
由a₅∈N^*，得 a₅=1，或a₅=5．
（Ⅱ）（ⅰ）证明：设A=（a₁，a₂，…，a_n），B=（b₁，b₂，…，b_n），C=（c₁，c₂，…，c_n）．
因为?λ＞0，使

AB

=λ

BC

，
所以?λ＞0，使得 （b₁-a₁，b₂-a₂，…，b_n-a_n）=λ（（c₁-b₁，c₂-b₂，…，c_n-b_n），
即?λ＞0，使得 b_i-a_i=λ（c_i-b_i），其中i=1，2，…，n．
所以 b_i-a_i与c_i-b_i（i=1，2，…，n）同为非负数或同为负数．
所以d（A，B）+d（B，C）=

n

i=1

|a_i-b_i|+

n

i=1

|b_i-c_i|=

n

i=1

（|b_i-a_i|+|c_i-b_i|）=

n

i=1

|c_i-a_i|=d（A，C）．
（ⅱ）解：设A，B，C∈S_n，且d（A，B）+d（B，C）=d（A，C），此时不一定?λ＞0，使得

AB

=λ

BC

．
反例如下：取A=（1，1，1，…，1），B=（1，2，1，1，…，1），C（2，2，2，1，1，…，1），
则 d（A，B）=1，d（B，C）=2，d（A，C）=3，显然d（A，B）+d（B，C）=d（A，C）．
因为

AB

=（0，1，0，0，…，0）

BC

=（1，0，1，0，0，…，0），
所以不存在λ＞0，使得

AB

=λ

BC

．．
（Ⅲ）因为d（A，B）=

n

i=1

|a_i-b_i|，
设b_i-a_i（i=1，2，…，n）中有m（m≤n）项为非负数，n-m项为负数．不妨设i=1，2，…，m时b_i-a_i≥0；i=m+1，m+2，…，n时，b_i-a_i＜0．
所以d（A，B）=

n

i=1

|a_i-b_i|=[（b₁+b₂+…+b_m）-（a₁+a₂+…+a_m）]+[（a_m+1+a_m+2+…+a_n）-（b_m+1+b_m+2+…+b_n）]，
因为 d（I，A）=d（I，B）=p，
∴

n

i=1

 （a_i-1）=

n

i=1

（b_i-1），整理得

n

i=1

ai=

n

i=1

bi．
所以d（A，B）=

n

i=1

|a_i-b_i|=2[b₁+b₂+…+b_m-（a₁+a₂+…+a_m）]．
因为 b₁+b₂+…+b_m=（b₁+b₂+…+b_n）-（b_m+1+b_m+2+…+b_n）≤（p+n）-（n-m）×1=p+m；
又 a₁+a₂+…+a_m≥m×1=m，
所以 d（A，B）=2[b₁+b₂+…+b_m-（a₁+a₂+…+a_m）]≤2[（p+m）-m]=2p．即 d（A，B）≤2p．…（12分）
对于 A=（1，1，…，1，p+1），B=（p+1，1，1，…，1），有 A，B∈S_n，且d（I，A）=d（I，B）=p，d（A，B）=2p．
综上，d（A，B）的最大值为2p．

点评：本题考查绝对值三角不等式，考查数列的求和，突出考查构造思想与举反例，考查抽象思维与创新思维能力考查推理转化能力，属于难题．